Razão: Comparando Grandezas

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1. O que é Razão?

Imagine que em uma sala de aula há 15 meninos e 10 meninas. Podemos comparar essas quantidades de várias formas: dizemos que há 5 meninos a mais que meninas, ou que o número de meninos é 1,5 vezes o número de meninas. Essa comparação por meio de uma divisão é chamada de razão.

Definição Matemática Formal

Dados dois números a e b, com b ≠ 0, a razão entre a e b é o quociente:

a b ou a : b

Leitura:

• a está para b
• a para b
• razão de a para b

Exemplo: 34 lê-se "3 está para 4"

2. Tipos de Razão

Razão de números inteiros

Quando comparamos dois números inteiros, a razão pode ser representada como uma fração.

812 = 23 (simplificada)

Razão de grandezas diferentes

Quando comparamos grandezas de naturezas diferentes, a razão recebe um nome especial (velocidade, densidade, etc.).

Velocidade = distância tempo (km/h) Densidade = massa volume (g/cm³)

Razão inversa

A razão inversa de ab é ba.

Razão entre meninos e meninas: 1510 = 32 Razão inversa (meninas/meninos): 1015 = 23

Razão percentual

Quando o denominador é 100, chamamos de porcentagem.

25100 = 25%

3. Simplificação de Razões

Assim como nas frações, podemos simplificar uma razão dividindo ambos os termos por um divisor comum.

Exemplo 1: Simplificar a razão 20 : 30

20 : 30 = 2030 = 23 = 2 : 3

Dividimos numerador e denominador por 10.

Exemplo 2: Simplificar a razão 36 : 48

36 : 48 = 3648 = 34 = 3 : 4

Dividimos por 12 (MDC entre 36 e 48).

📌 Importante!

A razão simplificada representa a mesma comparação que a razão original. 20:30 e 2:3 significam a mesma proporção.

4. Escala

A escala é uma razão muito utilizada em mapas, plantas baixas e maquetes. Ela compara a medida no desenho com a medida real.

Escala = medida no desenho medida real

Exemplo 1: Mapa

Em um mapa, a escala é 1 : 100.000. Isso significa que 1 cm no mapa corresponde a 100.000 cm na realidade, ou seja, 1 km.

1 cm (mapa) \to 100.000 cm (real) = 1 km

Exemplo 2: Planta baixa

Uma sala tem 5 m de comprimento. Em uma planta na escala 1 : 50, qual será o comprimento no desenho?

5 m = 500 cm desenho real = 150 desenho = 50050 = 10 cm

📌 Escalas comuns

1 : 100 (plantas de apartamentos)
1 : 1.000 (plantas de bairros)
1 : 100.000 (mapas de cidades)
1 : 1.000.000 (mapas de estados/países)

5. Velocidade Média

A velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto.

v m = Δs Δt

Exemplo

Um carro percorre 240 km em 3 horas. Qual sua velocidade média?

v m = 240 km 3 h = 80 km/h

A velocidade média pode ser expressa em km/h, m/s, etc.

6. Densidade Demográfica

A densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área de uma região.

densidade = habitantes área

Exemplo

Uma cidade tem 120.000 habitantes e área de 300 km². Qual sua densidade demográfica?

densidade = 120.000 300 = 400 hab/km²

7. Questões Resolvidas

Questão 1

Em uma prova, um aluno acertou 15 questões e errou 10. Qual a razão entre o número de acertos e o número total de questões?

Resolução:
Total de questões = 15 + 10 = 25
Razão acertos/total = 1525 = 35 = 0,6

✅ A razão é 3/5 ou 0,6.

Questão 2

Um mapa tem escala 1 : 200.000. Se a distância entre duas cidades no mapa é de 5 cm, qual é a distância real em quilômetros?

Resolução:
Escala = mapareal = 1200.000
5real = 1200.000
real = 5 × 200.000 = 1.000.000 cm = 10 km

✅ A distância real é 10 km.

Questão 3

Um carro percorre 300 km em 4 horas. Qual sua velocidade média?

Resolução:
v_m = 300 km4 h = 75 km/h

✅ A velocidade média é 75 km/h.

Questão 4

Uma cidade tem 240.000 habitantes e área de 600 km². Qual sua densidade demográfica?

Resolução:
densidade = 240.000600 = 400 hab/km²

✅ A densidade demográfica é 400 hab/km².

Questão 5

Em uma sala, a razão entre meninos e meninas é 2 : 3. Se há 12 meninos, quantas meninas há?

Resolução:
meninosmeninas = 23
12x = 23
2x = 12 × 3 = 36
x = 18

✅ Há 18 meninas.

Questão 6

A razão entre dois números é 3 : 5. Se o menor é 24, qual é o maior?

Resolução:
menor = 24, maior = x
24x = 35
3x = 24 × 5 = 120
x = 40

✅ O maior número é 40.

Questão 7

Em uma planta na escala 1 : 50, uma sala tem 12 cm de comprimento. Qual o comprimento real em metros?

Resolução:
desenhoreal = 150
12real = 150
real = 12 × 50 = 600 cm = 6 m

✅ O comprimento real é 6 m.

Questão 8

Um trem percorre 450 km em 5 horas. Qual sua velocidade média em m/s?

Resolução:
450 km = 450.000 m
5 h = 5 × 3600 = 18.000 s
v = 450.00018.000 = 25 m/s

✅ A velocidade média é 25 m/s.

Questão 9

A razão entre as idades de João e Pedro é 4 : 5. Se João tem 16 anos, qual a idade de Pedro?

Resolução:
JoãoPedro = 45
16x = 45
4x = 16 × 5 = 80
x = 20

✅ Pedro tem 20 anos.

Questão 10

Em uma prova, a razão entre o número de acertos e erros foi 7 : 3. Se o aluno acertou 28 questões, quantas ele errou?

Resolução:
acertoserros = 73
28x = 73
7x = 28 × 3 = 84
x = 12

✅ O aluno errou 12 questões.

8. Aplicações da Razão no Dia a Dia

📏 Escalas

Mapas, plantas baixas, maquetes

1 : 100.000 significa que 1 cm no mapa = 1 km na realidade.

🚗 Velocidade média

Distância percorrida por unidade de tempo

80 km/h significa 80 km a cada 1 hora.

👥 Densidade demográfica

Habitantes por km²

400 hab/km² significa 400 pessoas por quilômetro quadrado.

💰 Índices financeiros

Razão entre lucro e investimento, etc.

ROI = lucroinvestimento

🧪 Concentração

Quantidade de soluto por volume de solução

10 g100 mL = 0,1 g/mL

📊 Estatística

Razões como proporções, percentuais

30100 = 30%

9. Exercícios Guiados

Exercício 1

Simplifique a razão 45 : 60.

Ver resolução

45 : 60 = 4560 = 34 = 3 : 4

Exercício 2

Em uma classe, a razão entre meninos e meninas é 5 : 7. Se há 20 meninos, quantas meninas há?

Ver resolução

meninos meninas = 57 20 x = 57 5x = 20 \times 7 = 140 x = 28 meninas

Exercício 3

Um mapa tem escala 1 : 50.000. Se a distância entre duas cidades no mapa é 8 cm, qual a distância real em km?

Ver resolução

real = 8 \times 50.000 = 400.000 cm = 4 km

Exercício 4

Um ciclista percorre 60 km em 2,5 horas. Qual sua velocidade média?

Ver resolução

v = 60 km 2,5 h = 24 km/h

Exercício 5

Uma região tem 500.000 habitantes e área de 2.500 km². Qual sua densidade demográfica?

Ver resolução

densidade = 500.000 2.500 = 200 hab/km²

Resumo Geral: Razão

Definição: Razão entre a e b (b ≠ 0) é o quociente a/b ou a : b.
Leitura: "a está para b".
Tipos: Razão de números inteiros, de grandezas diferentes, inversa, percentual.
Simplificação: Dividir ambos os termos por um divisor comum.
Escala: Razão entre medida no desenho e medida real.
Velocidade média: Razão entre distância e tempo.
Densidade demográfica: Razão entre habitantes e área.
Razão inversa: Trocar numerador com denominador.
Aplicações: Mapas, velocidade, densidade, concentração, estatística.

Glossário de Termos

Razão: Comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão.
Antecedente: Primeiro termo de uma razão (numerador).
Consequente: Segundo termo de uma razão (denominador).
Razão inversa: Razão obtida trocando antecedente e consequente.
Escala: Razão entre a medida no desenho e a medida real.
Velocidade média: Razão entre a distância percorrida e o tempo gasto.
Densidade demográfica: Razão entre o número de habitantes e a área de uma região.
Porcentagem: Razão cujo consequente é 100.
Proporção: Igualdade entre duas razões.
Grandeza: Tudo que pode ser medido ou contado (comprimento, massa, tempo, etc.).
Razão de grandezas diferentes: Razão que resulta em uma nova grandeza (ex: km/h).
Simplificação de razão: Dividir antecedente e consequente por um divisor comum.

Desafio Final: 20 Questões sobre Razão

1. Qual é a razão entre 20 e 30?

20/30 = 2/3 (simplificando por 10).

2. Como se lê a razão 5 : 8?

5 : 8 lê-se "5 está para 8".

3. Qual é a razão inversa de 3 : 7?

A razão inversa troca os termos: 7 : 3.

4. Em um mapa, 1 cm representa 5 km. Qual a escala?

5 km = 500.000 cm, então escala = 1 : 500.000.

5. Um carro percorre 200 km em 4 horas. Qual sua velocidade média?

200 ÷ 4 = 50 km/h.

6. Uma cidade tem 300.000 habitantes em 150 km². Qual a densidade demográfica?

300.000 ÷ 150 = 2.000 hab/km².

7. Simplifique a razão 36 : 48.

36/48 = 3/4, então 3 : 4.

8. A razão entre meninos e meninas é 3 : 2. Se há 12 meninos, quantas meninas há?

3/2 = 12/x → 3x = 24 → x = 8.

9. Qual a velocidade em m/s de um carro a 72 km/h?

72 ÷ 3,6 = 20 m/s.

10. Em uma planta na escala 1 : 50, um cômodo tem 10 cm. Qual o tamanho real em metros?

10 × 50 = 500 cm = 5 m.

11. A razão entre dois números é 5 : 7. Se o menor é 25, qual é o maior?

5/7 = 25/x → 5x = 175 → x = 35.

12. Qual é a razão entre 1 metro e 50 centímetros?

1 m = 100 cm, então 100/50 = 2/1 = 2 : 1.

13. Uma prova tem 40 questões. Um aluno acertou 32. Qual a razão entre acertos e total?

32/40 = 4/5, então 4 : 5.

14. Um avião percorre 2.400 km em 3 horas. Qual sua velocidade média?

2.400 ÷ 3 = 800 km/h.

15. Qual a densidade demográfica de uma região com 500.000 habitantes e 2.500 km²?

500.000 ÷ 2.500 = 200 hab/km².

16. A razão entre as idades de Ana e Bia é 2 : 3. Se Ana tem 14 anos, qual a idade de Bia?

2/3 = 14/x → 2x = 42 → x = 21.

17. Em um mapa, 2 cm representam 10 km. Qual a escala?

10 km = 1.000.000 cm, então 2/1.000.000 = 1/500.000.

18. Qual a razão entre 2 horas e 30 minutos?

2 h = 120 min, 120/30 = 4/1 = 4 : 1.

19. Um corredor percorre 100 m em 10 s. Qual sua velocidade média em m/s?

100 ÷ 10 = 10 m/s.

20. A razão entre o lucro e o investimento de uma empresa é 3 : 10. Se o investimento foi R$ 50.000, qual foi o lucro?

3/10 = x/50.000 → 10x = 150.000 → x = 15.000.

1. O que é Razão?

Definição Matemática Formal

2. Tipos de Razão

Razão de números inteiros

Razão de grandezas diferentes

Razão inversa

Razão percentual

3. Simplificação de Razões

Exemplo 1: Simplificar a razão 20 : 30

Exemplo 2: Simplificar a razão 36 : 48

📌 Importante!

4. Escala

Exemplo 1: Mapa

Exemplo 2: Planta baixa

📌 Escalas comuns

5. Velocidade Média

Exemplo

6. Densidade Demográfica

Exemplo

7. Questões Resolvidas

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Questão 7

Questão 8

Questão 9

Questão 10

8. Aplicações da Razão no Dia a Dia

📏 Escalas

🚗 Velocidade média

👥 Densidade demográfica

💰 Índices financeiros

🧪 Concentração

📊 Estatística

9. Exercícios Guiados

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Resumo Geral: Razão

Glossário de Termos

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Desafio Final: 20 Questões sobre Razão

1. Qual é a razão entre 20 e 30?

2. Como se lê a razão 5 : 8?

3. Qual é a razão inversa de 3 : 7?

4. Em um mapa, 1 cm representa 5 km. Qual a escala?

5. Um carro percorre 200 km em 4 horas. Qual sua velocidade média?

6. Uma cidade tem 300.000 habitantes em 150 km². Qual a densidade demográfica?

7. Simplifique a razão 36 : 48.

8. A razão entre meninos e meninas é 3 : 2. Se há 12 meninos, quantas meninas há?

9. Qual a velocidade em m/s de um carro a 72 km/h?

10. Em uma planta na escala 1 : 50, um cômodo tem 10 cm. Qual o tamanho real em metros?

11. A razão entre dois números é 5 : 7. Se o menor é 25, qual é o maior?

12. Qual é a razão entre 1 metro e 50 centímetros?

13. Uma prova tem 40 questões. Um aluno acertou 32. Qual a razão entre acertos e total?

14. Um avião percorre 2.400 km em 3 horas. Qual sua velocidade média?

15. Qual a densidade demográfica de uma região com 500.000 habitantes e 2.500 km²?

16. A razão entre as idades de Ana e Bia é 2 : 3. Se Ana tem 14 anos, qual a idade de Bia?

17. Em um mapa, 2 cm representam 10 km. Qual a escala?

18. Qual a razão entre 2 horas e 30 minutos?

19. Um corredor percorre 100 m em 10 s. Qual sua velocidade média em m/s?

20. A razão entre o lucro e o investimento de uma empresa é 3 : 10. Se o investimento foi R$ 50.000, qual foi o lucro?