Sistemas de Equações: Resolvendo Problemas com Múltiplas Incógnitas
1. O que são Sistemas de Equações?
Imagine que você quer comprar duas canetas e três lápis e pagou R$ 14,00. Depois, comprou três canetas e dois lápis e pagou R$ 16,00. Como descobrir o preço de cada caneta e de cada lápis? Esse é um problema que envolve duas incógnitas (preço da caneta e preço do lápis) e duas equações. Um conjunto de equações que devem ser satisfeitas simultaneamente é chamado de sistema de equações.
Definição Matemática Formal
Um sistema de equações lineares com duas incógnitas pode ser escrito na forma:
{ a₁x + b₁y = c₁
{ a₂x + b₂y = c₂
{ a₂x + b₂y = c₂
Onde:
• x e y são as incógnitas.
• a₁, b₁, a₂, b₂ são os coeficientes.
• c₁, c₂ são os termos independentes.
Exemplo: { 2x + 3y = 14
{ 3x + 2y = 16
2. Método da Substituição
O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma equação e substituir na outra.
Exemplo: Resolva o sistema
{ x + y = 10
{ 2x - y = 8
{ 2x - y = 8
Passo 1: Isolar x na primeira equação:
x = 10 - y
Passo 2: Substituir x na segunda equação:
2(10 - y) - y = 8
20 - 2y - y = 8
20 - 3y = 8
-3y = 8 - 20
-3y = -12
y = 4
Passo 3: Substituir y = 4 em x = 10 - y:
x = 10 - 4 = 6
x = 10 - y
Passo 2: Substituir x na segunda equação:
2(10 - y) - y = 8
20 - 2y - y = 8
20 - 3y = 8
-3y = 8 - 20
-3y = -12
y = 4
Passo 3: Substituir y = 4 em x = 10 - y:
x = 10 - 4 = 6
Solução: x = 6, y = 4
📌 Passos do método da substituição
- Escolha uma equação e isole uma das incógnitas.
- Substitua a expressão encontrada na outra equação.
- Resolva a equação resultante (agora com uma incógnita).
- Substitua o valor encontrado em qualquer equação para achar a outra incógnita.
3. Método da Adição (ou Eliminação)
O método da adição consiste em somar as duas equações após multiplicá-las por números convenientes para eliminar uma das incógnitas.
Exemplo 1: Resolva o sistema
{ x + y = 10
{ 2x - y = 8
{ 2x - y = 8
Passo 1: Somar as duas equações:
(x + y) + (2x - y) = 10 + 8
3x = 18
x = 6
Passo 2: Substituir x = 6 na primeira equação:
6 + y = 10
y = 4
(x + y) + (2x - y) = 10 + 8
3x = 18
x = 6
Passo 2: Substituir x = 6 na primeira equação:
6 + y = 10
y = 4
Solução: x = 6, y = 4
Exemplo 2: Quando é necessário multiplicar
{ 2x + 3y = 7
{ 3x + 2y = 8
{ 3x + 2y = 8
Passo 1: Multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por -3 para eliminar y?
Melhor: Multiplicar a primeira por 2 e a segunda por -3 para eliminar y?
Vamos multiplicar a primeira por 2 e a segunda por -3:
4x + 6y = 14
-9x - 6y = -24
Passo 2: Somar as equações:
(4x - 9x) + (6y - 6y) = 14 - 24
-5x = -10
x = 2
Passo 3: Substituir x = 2 na primeira equação original:
2·2 + 3y = 7
4 + 3y = 7
3y = 3
y = 1
Melhor: Multiplicar a primeira por 2 e a segunda por -3 para eliminar y?
Vamos multiplicar a primeira por 2 e a segunda por -3:
4x + 6y = 14
-9x - 6y = -24
Passo 2: Somar as equações:
(4x - 9x) + (6y - 6y) = 14 - 24
-5x = -10
x = 2
Passo 3: Substituir x = 2 na primeira equação original:
2·2 + 3y = 7
4 + 3y = 7
3y = 3
y = 1
Solução: x = 2, y = 1
📌 Passos do método da adição
- Multiplique as equações por números convenientes para que os coeficientes de uma incógnita fiquem opostos.
- Some as equações para eliminar essa incógnita.
- Resolva a equação resultante.
- Substitua o valor encontrado em qualquer equação para achar a outra incógnita.
4. Método da Comparação
O método da comparação consiste em isolar a mesma incógnita em ambas as equações e igualar as expressões obtidas.
Exemplo: Resolva o sistema
{ x + y = 10
{ 2x - y = 8
{ 2x - y = 8
Passo 1: Isolar y na primeira equação:
y = 10 - x
Passo 2: Isolar y na segunda equação:
-y = 8 - 2x → y = 2x - 8
Passo 3: Igualar as expressões de y:
10 - x = 2x - 8
10 + 8 = 2x + x
18 = 3x
x = 6
Passo 4: Substituir x = 6 em y = 10 - x:
y = 10 - 6 = 4
y = 10 - x
Passo 2: Isolar y na segunda equação:
-y = 8 - 2x → y = 2x - 8
Passo 3: Igualar as expressões de y:
10 - x = 2x - 8
10 + 8 = 2x + x
18 = 3x
x = 6
Passo 4: Substituir x = 6 em y = 10 - x:
y = 10 - 6 = 4
Solução: x = 6, y = 4
📌 Passos do método da comparação
- Isole a mesma incógnita em ambas as equações.
- Iguale as expressões obtidas.
- Resolva a equação resultante.
- Substitua o valor encontrado em qualquer expressão para achar a outra incógnita.
5. Classificação dos Sistemas Lineares
Quanto ao número de soluções, os sistemas lineares podem ser classificados em:
✅ Sistema Possível e Determinado (SPD)
Possui uma única solução.
{ x + y = 5
{ x - y = 1
Solução: x = 3, y = 2
{ x - y = 1
Solução: x = 3, y = 2
♾️ Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Possui infinitas soluções.
{ x + y = 5
{ 2x + 2y = 10
(a segunda é o dobro da primeira)
{ 2x + 2y = 10
(a segunda é o dobro da primeira)
❌ Sistema Impossível (SI)
Não possui solução.
{ x + y = 5
{ x + y = 7
(equações contraditórias)
{ x + y = 7
(equações contraditórias)
Interpretação Geométrica
Cada equação do sistema representa uma reta no plano cartesiano.
- SPD: As retas são concorrentes (se cruzam em um ponto).
- SPI: As retas são coincidentes (a mesma reta).
- SI: As retas são paralelas (não se cruzam).
6. Sistemas com Três Incógnitas
Para sistemas com três equações e três incógnitas, podemos usar os mesmos métodos, porém com mais passos.
Exemplo: Resolva o sistema
{ x + y + z = 6
{ 2x - y + z = 3
{ x + 2y - z = 2
{ 2x - y + z = 3
{ x + 2y - z = 2
Passo 1: Usar a primeira e segunda para eliminar y:
(x + y + z) + (2x - y + z) = 6 + 3
3x + 2z = 9 → (1)
Passo 2: Usar a primeira e terceira para eliminar y:
(x + y + z) + (x + 2y - z)?? Não, melhor multiplicar a primeira por 2 e somar com a terceira?
Vamos somar a primeira com a terceira? Não elimina y.
Vamos usar a primeira e a terceira: Multiplicar a primeira por 2: 2x + 2y + 2z = 12.
Somar com a terceira: (2x + 2y + 2z) + (x + 2y - z) = 12 + 2
3x + 4y + z = 14? Isso não elimina y.
Melhor abordagem: Usar a primeira e a segunda para eliminar y, já fizemos: 3x + 2z = 9
Agora usar a primeira e a terceira: Multiplicar a primeira por -2?
Vamos multiplicar a primeira por 2 e subtrair a terceira?
2x + 2y + 2z = 12
(x + 2y - z) = 2
Subtraindo: (2x - x) + (2y - 2y) + (2z + z) = 12 - 2
x + 3z = 10 → (2)
Passo 3: Agora temos um sistema com x e z:
3x + 2z = 9
x + 3z = 10
Passo 4: Resolver por substituição: x = 10 - 3z
3(10 - 3z) + 2z = 9
30 - 9z + 2z = 9
30 - 7z = 9
-7z = -21
z = 3
x = 10 - 3·3 = 1
Passo 5: Substituir x = 1, z = 3 na primeira equação original:
1 + y + 3 = 6
y + 4 = 6
y = 2
(x + y + z) + (2x - y + z) = 6 + 3
3x + 2z = 9 → (1)
Passo 2: Usar a primeira e terceira para eliminar y:
(x + y + z) + (x + 2y - z)?? Não, melhor multiplicar a primeira por 2 e somar com a terceira?
Vamos somar a primeira com a terceira? Não elimina y.
Vamos usar a primeira e a terceira: Multiplicar a primeira por 2: 2x + 2y + 2z = 12.
Somar com a terceira: (2x + 2y + 2z) + (x + 2y - z) = 12 + 2
3x + 4y + z = 14? Isso não elimina y.
Melhor abordagem: Usar a primeira e a segunda para eliminar y, já fizemos: 3x + 2z = 9
Agora usar a primeira e a terceira: Multiplicar a primeira por -2?
Vamos multiplicar a primeira por 2 e subtrair a terceira?
2x + 2y + 2z = 12
(x + 2y - z) = 2
Subtraindo: (2x - x) + (2y - 2y) + (2z + z) = 12 - 2
x + 3z = 10 → (2)
Passo 3: Agora temos um sistema com x e z:
3x + 2z = 9
x + 3z = 10
Passo 4: Resolver por substituição: x = 10 - 3z
3(10 - 3z) + 2z = 9
30 - 9z + 2z = 9
30 - 7z = 9
-7z = -21
z = 3
x = 10 - 3·3 = 1
Passo 5: Substituir x = 1, z = 3 na primeira equação original:
1 + y + 3 = 6
y + 4 = 6
y = 2
Solução: x = 1, y = 2, z = 3
7. Sistemas Não Lineares
Quando as equações envolvem produtos, potências ou outras operações não lineares, temos um sistema não linear.
Exemplo: Resolva o sistema
{ x + y = 5
{ x · y = 6
{ x · y = 6
Passo 1: Isolar y na primeira: y = 5 - x
Passo 2: Substituir na segunda: x(5 - x) = 6
5x - x² = 6
-x² + 5x - 6 = 0
x² - 5x + 6 = 0
Δ = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1)/2 → x₁ = 3, x₂ = 2
Passo 3: Para x = 3, y = 2
Para x = 2, y = 3
Passo 2: Substituir na segunda: x(5 - x) = 6
5x - x² = 6
-x² + 5x - 6 = 0
x² - 5x + 6 = 0
Δ = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1)/2 → x₁ = 3, x₂ = 2
Passo 3: Para x = 3, y = 2
Para x = 2, y = 3
Soluções: (x, y) = (3, 2) e (2, 3)
8. Sistemas com Frações
Quando as equações envolvem frações, podemos multiplicar toda a equação pelo MMC dos denominadores para eliminar as frações.
Exemplo: Resolva o sistema
{ x2 + y3 = 7
{ x3 + y2 = 8
{ x3 + y2 = 8
Passo 1: Multiplicar a primeira equação por 6 (MMC de 2 e 3):
3x + 2y = 42
Passo 2: Multiplicar a segunda equação por 6:
2x + 3y = 48
Passo 3: Resolver o sistema:
3x + 2y = 42
2x + 3y = 48
Passo 4: Multiplicar a primeira por 3 e a segunda por -2:
9x + 6y = 126
-4x - 6y = -96
Passo 5: Somar: 5x = 30 → x = 6
3·6 + 2y = 42 → 18 + 2y = 42 → 2y = 24 → y = 12
3x + 2y = 42
Passo 2: Multiplicar a segunda equação por 6:
2x + 3y = 48
Passo 3: Resolver o sistema:
3x + 2y = 42
2x + 3y = 48
Passo 4: Multiplicar a primeira por 3 e a segunda por -2:
9x + 6y = 126
-4x - 6y = -96
Passo 5: Somar: 5x = 30 → x = 6
3·6 + 2y = 42 → 18 + 2y = 42 → 2y = 24 → y = 12
Solução: x = 6, y = 12
9. Questões Resolvidas
Questão 1
Resolva o sistema pelo método da substituição:
{ x + 2y = 7
{ 3x - y = 7
{ x + 2y = 7
{ 3x - y = 7
Resolução:
Isolando x na primeira: x = 7 - 2y
Substituindo na segunda: 3(7 - 2y) - y = 7
21 - 6y - y = 7
21 - 7y = 7
-7y = -14
y = 2
x = 7 - 2·2 = 3
Isolando x na primeira: x = 7 - 2y
Substituindo na segunda: 3(7 - 2y) - y = 7
21 - 6y - y = 7
21 - 7y = 7
-7y = -14
y = 2
x = 7 - 2·2 = 3
✅ x = 3, y = 2
Questão 2
Resolva o sistema pelo método da adição:
{ 2x + 3y = 13
{ 3x + 2y = 12
{ 2x + 3y = 13
{ 3x + 2y = 12
Resolução:
Multiplicar a primeira por 2 e a segunda por -3:
4x + 6y = 26
-9x - 6y = -36
Somando: -5x = -10 → x = 2
2·2 + 3y = 13 → 4 + 3y = 13 → 3y = 9 → y = 3
Multiplicar a primeira por 2 e a segunda por -3:
4x + 6y = 26
-9x - 6y = -36
Somando: -5x = -10 → x = 2
2·2 + 3y = 13 → 4 + 3y = 13 → 3y = 9 → y = 3
✅ x = 2, y = 3
Questão 3
Classifique o sistema:
{ x + y = 5
{ 2x + 2y = 10
{ x + y = 5
{ 2x + 2y = 10
Resolução:
A segunda equação é o dobro da primeira. Portanto, as duas representam a mesma reta.
O sistema possui infinitas soluções.
A segunda equação é o dobro da primeira. Portanto, as duas representam a mesma reta.
O sistema possui infinitas soluções.
✅ Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Questão 4
Resolva o sistema:
{ x + y = 8
{ x - y = 2
{ x + y = 8
{ x - y = 2
Resolução:
Somando as equações: 2x = 10 → x = 5
5 + y = 8 → y = 3
Somando as equações: 2x = 10 → x = 5
5 + y = 8 → y = 3
✅ x = 5, y = 3
Questão 5
Resolva o sistema:
{ 3x + 2y = 16
{ 2x + 3y = 14
{ 3x + 2y = 16
{ 2x + 3y = 14
Resolução:
Multiplicar a primeira por 3 e a segunda por -2:
9x + 6y = 48
-4x - 6y = -28
Somando: 5x = 20 → x = 4
3·4 + 2y = 16 → 12 + 2y = 16 → 2y = 4 → y = 2
Multiplicar a primeira por 3 e a segunda por -2:
9x + 6y = 48
-4x - 6y = -28
Somando: 5x = 20 → x = 4
3·4 + 2y = 16 → 12 + 2y = 16 → 2y = 4 → y = 2
✅ x = 4, y = 2
Questão 6
Resolva o sistema pelo método da comparação:
{ 2x + y = 7
{ x - y = 2
{ 2x + y = 7
{ x - y = 2
Resolução:
Isolando y na primeira: y = 7 - 2x
Isolando y na segunda: y = x - 2
Igualando: 7 - 2x = x - 2
7 + 2 = x + 2x
9 = 3x → x = 3
y = 3 - 2 = 1
Isolando y na primeira: y = 7 - 2x
Isolando y na segunda: y = x - 2
Igualando: 7 - 2x = x - 2
7 + 2 = x + 2x
9 = 3x → x = 3
y = 3 - 2 = 1
✅ x = 3, y = 1
Questão 7
Resolva o sistema com 3 incógnitas:
{ x + y + z = 6
{ 2x - y + z = 3
{ x + 2y - z = 2
{ x + y + z = 6
{ 2x - y + z = 3
{ x + 2y - z = 2
Resolução:
(Solução já vista no exemplo anterior)
x = 1, y = 2, z = 3
(Solução já vista no exemplo anterior)
x = 1, y = 2, z = 3
✅ x = 1, y = 2, z = 3
Questão 8
Resolva o sistema não linear:
{ x + y = 7
{ x · y = 10
{ x + y = 7
{ x · y = 10
Resolução:
y = 7 - x
x(7 - x) = 10
7x - x² = 10
x² - 7x + 10 = 0
Δ = 49 - 40 = 9
x = (7 ± 3)/2 → x₁ = 5, x₂ = 2
Para x = 5, y = 2; para x = 2, y = 5
y = 7 - x
x(7 - x) = 10
7x - x² = 10
x² - 7x + 10 = 0
Δ = 49 - 40 = 9
x = (7 ± 3)/2 → x₁ = 5, x₂ = 2
Para x = 5, y = 2; para x = 2, y = 5
✅ (x, y) = (5, 2) e (2, 5)
Questão 9
Resolva o sistema com frações:
{ x2 + y3 = 5
{ x3 + y2 = 5
{ x2 + y3 = 5
{ x3 + y2 = 5
Resolução:
Multiplicar a primeira por 6: 3x + 2y = 30
Multiplicar a segunda por 6: 2x + 3y = 30
Resolver: multiplicar a primeira por 3 e a segunda por -2:
9x + 6y = 90
-4x - 6y = -60
5x = 30 → x = 6
3·6 + 2y = 30 → 18 + 2y = 30 → 2y = 12 → y = 6
Multiplicar a primeira por 6: 3x + 2y = 30
Multiplicar a segunda por 6: 2x + 3y = 30
Resolver: multiplicar a primeira por 3 e a segunda por -2:
9x + 6y = 90
-4x - 6y = -60
5x = 30 → x = 6
3·6 + 2y = 30 → 18 + 2y = 30 → 2y = 12 → y = 6
✅ x = 6, y = 6
Questão 10
Determine o valor de k para que o sistema seja impossível:
{ x + y = 5
{ 2x + 2y = k
{ x + y = 5
{ 2x + 2y = k
Resolução:
A segunda equação deve ser contraditória com a primeira.
Se k ≠ 10, o sistema é impossível.
Para k = 10, as equações são equivalentes (SPI).
Para k ≠ 10, não há solução.
A segunda equação deve ser contraditória com a primeira.
Se k ≠ 10, o sistema é impossível.
Para k = 10, as equações são equivalentes (SPI).
Para k ≠ 10, não há solução.
✅ k ≠ 10
10. Aplicações dos Sistemas de Equações
💰 Matemática Financeira
Problemas envolvendo compras, investimentos, trocos.
Preço de canetas e lápis, cédulas e moedas.
🚗 Problemas de Movimento
Velocidade, tempo e distância com múltiplos veículos.
Dois trens partindo de cidades diferentes.
🧪 Misturas
Problemas de concentração, ligas metálicas, soluções.
Misturar soluções com diferentes concentrações.
11. Exercícios Guiados
Exercício 1
Resolva pelo método da substituição:
{ 3x + y = 11
{ 2x - y = 4
Ver resolução
Isolando y na segunda: y = 2x - 4
3x + (2x - 4) = 11
5x - 4 = 11
5x = 15 → x = 3
y = 2·3 - 4 = 2
3x + (2x - 4) = 11
5x - 4 = 11
5x = 15 → x = 3
y = 2·3 - 4 = 2
Exercício 2
Resolva pelo método da adição:
{ 4x + 3y = 18
{ 2x + 5y = 16
Ver resolução
Multiplicar a segunda por -2:
4x + 3y = 18
-4x - 10y = -32
Somando: -7y = -14 → y = 2
4x + 6 = 18 → 4x = 12 → x = 3
4x + 3y = 18
-4x - 10y = -32
Somando: -7y = -14 → y = 2
4x + 6 = 18 → 4x = 12 → x = 3
Exercício 3
Resolva pelo método da comparação:
{ 5x - 2y = 1
{ 3x + y = 5
Ver resolução
Isolando y na segunda: y = 5 - 3x
Isolando y na primeira: -2y = 1 - 5x → y = (5x - 1)/2
Igualando: 5 - 3x = (5x - 1)/2
10 - 6x = 5x - 1
10 + 1 = 5x + 6x
11 = 11x → x = 1
y = 5 - 3·1 = 2
Isolando y na primeira: -2y = 1 - 5x → y = (5x - 1)/2
Igualando: 5 - 3x = (5x - 1)/2
10 - 6x = 5x - 1
10 + 1 = 5x + 6x
11 = 11x → x = 1
y = 5 - 3·1 = 2
Exercício 4
Classifique o sistema:
{ 3x - 2y = 8
{ 6x - 4y = 16
Ver resolução
A segunda equação é o dobro da primeira. Portanto, SPI (infinitas soluções).
Exercício 5
Resolva o sistema com frações:
{ x3 + y4 = 5
{ x4 + y3 = 5
Ver resolução
Multiplicar a primeira por 12: 4x + 3y = 60
Multiplicar a segunda por 12: 3x + 4y = 60
Resolver: multiplicar a primeira por 4 e a segunda por -3:
16x + 12y = 240
-9x - 12y = -180
7x = 60 → x = 60/7
4·(60/7) + 3y = 60 → 240/7 + 3y = 60 → 3y = 60 - 240/7 = (420 - 240)/7 = 180/7 → y = 60/7
Multiplicar a segunda por 12: 3x + 4y = 60
Resolver: multiplicar a primeira por 4 e a segunda por -3:
16x + 12y = 240
-9x - 12y = -180
7x = 60 → x = 60/7
4·(60/7) + 3y = 60 → 240/7 + 3y = 60 → 3y = 60 - 240/7 = (420 - 240)/7 = 180/7 → y = 60/7
Exercício 6
Resolva o sistema não linear:
{ x + y = 8
{ x² + y² = 34
Ver resolução
y = 8 - x
x² + (8 - x)² = 34
x² + 64 - 16x + x² = 34
2x² - 16x + 30 = 0
x² - 8x + 15 = 0
Δ = 64 - 60 = 4
x = (8 ± 2)/2 → x₁ = 5, x₂ = 3
Para x = 5, y = 3; para x = 3, y = 5
x² + (8 - x)² = 34
x² + 64 - 16x + x² = 34
2x² - 16x + 30 = 0
x² - 8x + 15 = 0
Δ = 64 - 60 = 4
x = (8 ± 2)/2 → x₁ = 5, x₂ = 3
Para x = 5, y = 3; para x = 3, y = 5
Resumo Geral: Sistemas de Equações
- Definição: Conjunto de equações que devem ser satisfeitas simultaneamente.
- Método da Substituição: Isolar uma incógnita e substituir na outra equação.
- Método da Adição: Multiplicar equações e somar para eliminar uma incógnita.
- Método da Comparação: Isolar a mesma incógnita em ambas e igualar.
- Classificação: SPD (uma solução), SPI (infinitas soluções), SI (sem solução).
- Interpretação geométrica: Retas concorrentes (SPD), coincidentes (SPI), paralelas (SI).
- Sistemas com 3 incógnitas: Eliminar uma variável por vez até reduzir a 2 incógnitas.
- Sistemas não lineares: Usar substituição e resolver equação resultante.
- Sistemas com frações: Multiplicar pelo MMC para eliminar denominadores.
Glossário de Termos
- Sistema de Equações
- Conjunto de duas ou mais equações que compartilham as mesmas incógnitas.
- Solução do Sistema
- Conjunto de valores que satisfaz todas as equações simultaneamente.
- SPD (Sistema Possível e Determinado)
- Sistema que possui uma única solução.
- SPI (Sistema Possível e Indeterminado)
- Sistema que possui infinitas soluções.
- SI (Sistema Impossível)
- Sistema que não possui solução.
- Método da Substituição
- Isolar uma incógnita em uma equação e substituir na outra.
- Método da Adição
- Multiplicar as equações e somá-las para eliminar uma incógnita.
- Método da Comparação
- Isolar a mesma incógnita em ambas as equações e igualar.
- Incógnita
- Valor desconhecido representado por uma letra (x, y, z...).
- Coeficiente
- Número que multiplica a incógnita em uma equação.
- Termo Independente
- Número que não acompanha incógnita.
- Sistema Linear
- Sistema onde todas as equações são do primeiro grau.
- Sistema Não Linear
- Sistema com equações de grau maior que 1 ou produtos entre incógnitas.
Desafio Final: 20 Questões sobre Sistemas de Equações
1. Resolva: { x + y = 10, { x - y = 4
Somando: 2x = 14 → x = 7; 7 + y = 10 → y = 3.
2. Resolva: { 2x + y = 8, { x - y = 1
Somando: 3x = 9 → x = 3; 3 - y = 1 → y = 2.
3. Qual é a solução de { 3x + 2y = 16, { 2x + 3y = 14?
Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por -2: 9x+6y=48; -4x-6y=-28; 5x=20 → x=4; 12+2y=16 → y=2.
4. Classifique o sistema: { x + y = 5, { 2x + 2y = 12
Dividindo a segunda por 2: x + y = 6. As equações são x+y=5 e x+y=6, contraditórias → SI.
5. Resolva pelo método da substituição: { x = 2y, { 3x - y = 10
Substituindo: 3(2y) - y = 10 → 6y - y = 10 → 5y = 10 → y = 2; x = 4.
6. Resolva pelo método da adição: { 4x + 3y = 18, { 2x + 5y = 16
Multiplicando a segunda por -2: 4x+3y=18; -4x-10y=-32; somando: -7y=-14 → y=2; 4x+6=18 → x=3.
7. Resolva: { x + y = 7, { x · y = 12
Equação do 2º grau: t² - 7t + 12 = 0 → t = 3 ou 4.
8. Qual é o valor de y no sistema { 2x + y = 10, { x - 2y = -5?
Multiplicando a segunda por -2: -2x + 4y = 10. Somando com a primeira: 5y = 20 → y = 4.
9. Resolva: { x2 + y3 = 5, { x3 + y2 = 5
Multiplicando por 6: 3x+2y=30; 2x+3y=30. Resolvendo: x=6, y=6.
10. Qual é a classificação do sistema { 3x - 2y = 8, { 6x - 4y = 16?
A segunda é o dobro da primeira → infinitas soluções.
11. Resolva: { 5x + 2y = 24, { 3x - 2y = 8
Somando: 8x = 32 → x = 4; 20 + 2y = 24 → y = 2.
12. Resolva: { 2x + 3y = 13, { 4x - y = 5
Multiplicando a segunda por 3: 12x - 3y = 15. Somando com a primeira: 14x = 28 → x = 2; 4 + 3y = 13 → y = 3.
13. Em um sistema SPD, as retas representadas são:
Retas concorrentes se cruzam em um único ponto → SPD.
14. Resolva: { x + 2y = 8, { 3x - y = 3
Multiplicando a segunda por 2: 6x - 2y = 6. Somando com a primeira: 7x = 14 → x = 2; 2 + 2y = 8 → y = 3.
15. Resolva pelo método da comparação: { 2x + y = 7, { x - y = 2
Isolando y: y = 7 - 2x e y = x - 2. Igualando: 7 - 2x = x - 2 → 9 = 3x → x = 3; y = 1.
16. Resolva o sistema com 3 incógnitas: { x + y = 5, { y + z = 7, { x + z = 8
Somando as três: 2(x+y+z) = 20 → x+y+z = 10. Subtraindo x+y=5 → z=5; y+z=7 → y=2; x+y=5 → x=3.
17. Determine k para que o sistema seja SPD: { x + y = 5, { 2x + 2y = k
Para k = 10, as equações são equivalentes (SPI). Para k ≠ 10, são contraditórias (SI). Nunca será SPD.
18. Resolva: { 3x + 4y = 20, { 2x + 5y = 18
Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por -3: 6x+8y=40; -6x-15y=-54; -7y=-14 → y=2; 3x+8=20 → x=4.
19. Resolva: { x + y = 8, { x² - y² = 16
x² - y² = (x-y)(x+y) = 16 → 8(x-y) = 16 → x - y = 2. Com x+y=8, resolvendo: x=5, y=3.
20. Em um sistema SPI, as retas representadas são:
Retas coincidentes (a mesma reta) → infinitos pontos de interseção → SPI.