Função Afim: A Função do 1º Grau
1. O que é uma função afim?
Imagine que você vai a uma lanchonete onde cada hambúrguer custa R$ 8,00, mas você paga R$ 3,00 de couvert artístico fixo. Se você comer 1 hambúrguer, paga 8 + 3 = R$ 11,00. Se comer 2, paga 16 + 3 = R$ 19,00. O valor a pagar é sempre o número de hambúrgueres vezes 8, mais 3. Essa é uma função afim (ou função do 1º grau).
Definição: Função Afim
Uma função f: ℝ → ℝ chamada de função afim (ou função do 1º grau) pode ser escrita na forma:
• a é o coeficiente angular (taxa de variação).
• b é o coeficiente linear (valor onde a reta corta o eixo y).
• a ≠ 0 (se a = 0, a função é constante).
2. Coeficiente angular (a) e coeficiente linear (b)
📈 Coeficiente angular (a)
Indica a inclinação da reta.
• Se a > 0, a função é crescente.
• Se a < 0, a função é decrescente.
• Quanto maior o valor de a, mais "íngreme" é a reta.
📊 Coeficiente linear (b)
Indica onde a reta corta o eixo y.
• É o valor de f(0).
• Se b > 0, a reta corta acima da origem.
• Se b < 0, a reta corta abaixo da origem.
3. Gráfico da função afim
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta. Para desenhá-la, precisamos de dois pontos.
Exemplo: f(x) = 2x + 1
| x | f(x) = 2x + 1 | Ponto |
|---|---|---|
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 1 | 3 | (1, 3) |
| 2 | 5 | (2, 5) |
| -1 | -1 | (-1, -1) |
💡 Dica: Para traçar a reta, bastam dois pontos. O mais fácil é usar x = 0 (ponto onde corta o eixo y) e x = 1 (para ver a inclinação).
4. Raiz (zero) da função afim
A raiz (ou zero) da função é o valor de x para o qual f(x) = 0. É onde a reta corta o eixo x.
Exemplo: f(x) = 2x - 6
A reta corta o eixo x em x = 3.
5. Estudo do sinal da função afim
Estudar o sinal significa determinar para quais valores de x a função é positiva, negativa ou zero.
Para a > 0 (crescente)
• f(x) < 0 para x < -b/a
• f(x) = 0 para x = -b/a
• f(x) > 0 para x > -b/a
Para a < 0 (decrescente)
• f(x) > 0 para x < -b/a
• f(x) = 0 para x = -b/a
• f(x) < 0 para x > -b/a
💡 Dica: Em funções crescentes, a função é negativa antes da raiz e positiva depois. Em funções decrescentes, é o contrário.
6. Casos especiais
🟢 Função linear
Quando b = 0, a função é chamada de função linear: f(x) = ax.
Exemplo: f(x) = 3x (passa pela origem).
🟡 Função identidade
Quando a = 1 e b = 0: f(x) = x. É a função que associa cada número a ele mesmo.
🔵 Função constante
Quando a = 0: f(x) = b. Já estudamos separadamente.
7. Exemplos resolvidos
Exemplo 1: f(x) = 3x - 6
• Coeficiente linear: b = -6 → corta y em (0, -6)
• Raiz: 3x - 6 = 0 → x = 2
• Estudo do sinal: negativa para x < 2, positiva para x > 2
Exemplo 2: f(x) = -2x + 8
• b = 8 → corta y em (0, 8)
• Raiz: -2x + 8 = 0 → -2x = -8 → x = 4
• Estudo do sinal: positiva para x < 4, negativa para x > 4
Exemplo 3: f(x) = 4x
• a = 4 > 0 → crescente
• Passa pela origem (0,0)
• Raiz: x = 0
8. Como encontrar a função a partir do gráfico
Dado um gráfico de reta, podemos encontrar a função f(x) = ax + b.
Passo a passo
- Encontrar o coeficiente linear b: é o valor onde a reta corta o eixo y.
- Encontrar o coeficiente angular a: escolher dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) e calcular a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).
- Escrever f(x) = ax + b.
Exemplo
Uma reta passa pelos pontos (0, 2) e (3, 8). Determine a função.
a = (8 - 2)/(3 - 0) = 6/3 = 2
f(x) = 2x + 2
9. Questões Resolvidas
Questão 1
f(3) = 2·3 - 4 = 6 - 4 = 2
f(0) = 2·0 - 4 = -4
f(-2) = 2·(-2) - 4 = -4 - 4 = -8
Questão 2
3x + 9 = 0 → 3x = -9 → x = -3
Questão 3
a = 2, b = -3 → f(x) = 2x - 3
Questão 4
a = -5 < 0 → decrescente
-5x + 10 = 0 → -5x = -10 → x = 2
Questão 5
2x - 6 > 0 → 2x > 6 → x > 3
f(x) > 0 para x > 3
Questão 6
a = (7 - 3)/(3 - 1) = 4/2 = 2
Substituindo (1,3): 3 = 2·1 + b → b = 1
f(x) = 2x + 1
Questão 7
f(5) = 0 → a·5 + 3 = 0 → 5a = -3 → a = -3/5
Questão 8
b = -2 (corta y em -2)
a = (0 - (-2))/(4 - 0) = 2/4 = 1/2
f(x) = (1/2)x - 2
Questão 9
4x - 8 < 0 → 4x < 8 → x < 2
Questão 10
a = (11 - 5)/(3 - 1) = 6/2 = 3
f(1) = 3·1 + b = 5 → b = 2
f(x) = 3x + 2
f(5) = 3·5 + 2 = 15 + 2 = 17
10. Aplicações da função afim
A função afim aparece em inúmeras situações práticas:
- 💰 Matemática financeira: Juros simples, descontos, parcelamentos.
- 🚗 Física: Movimento uniforme (posição em função do tempo).
- 📊 Estatística: Regressão linear, tendências.
- 🏭 Engenharia: Relações lineares entre grandezas.
- 📈 Economia: Oferta e demanda, custos fixos e variáveis.
11. Exercícios Guiados
Exercício 1
Dada f(x) = 3x + 5, calcule f(2).
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Exercício 2
Determine a raiz de f(x) = -2x + 10.
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Exercício 3
A função f(x) = 5x - 15 é crescente ou decrescente?
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Exercício 4
Encontre a função afim que passa por (0, 3) e (2, 7).
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Exercício 5
Para quais x a função f(x) = -3x + 12 é positiva?
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Exercício 6
Se f(1) = 4 e f(3) = 10, determine f(0).
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4 = 3·1 + b → b = 1
f(0) = 1
Resumo Geral: Função Afim
- Definição: f(x) = ax + b, com a ≠ 0.
- Coeficiente angular (a): inclinação da reta. a > 0 (crescente), a < 0 (decrescente).
- Coeficiente linear (b): ponto onde a reta corta o eixo y: (0, b).
- Raiz (zero): valor de x onde f(x) = 0: x = -b/a.
- Gráfico: uma reta. Dois pontos são suficientes para traçá-la.
- Estudo do sinal: depende do sinal de a e da raiz.
- Casos especiais: linear (b=0), identidade (a=1, b=0), constante (a=0).
- Aplicações: taxímetro, salários, custos, movimento uniforme.
Glossário de Termos
- Função Afim
- Função do tipo f(x) = ax + b, com a ≠ 0. Seu gráfico é uma reta.
- Coeficiente Angular (a)
- Número que indica a inclinação da reta. É a taxa de variação da função.
- Coeficiente Linear (b)
- Valor onde a reta corta o eixo y. É o valor de f(0).
- Raiz (ou Zero) da Função
- Valor de x que torna f(x) = 0. Ponto onde a reta corta o eixo x.
- Função Crescente
- Quando a > 0: à medida que x aumenta, f(x) aumenta.
- Função Decrescente
- Quando a < 0: à medida que x aumenta, f(x) diminui.
- Função Linear
- Caso particular da função afim com b = 0: f(x) = ax.
- Taxa de Variação
- Outro nome para o coeficiente angular. Indica quanto f(x) varia quando x aumenta em 1 unidade.
- Reta
- Gráfico da função afim. É uma linha reta que pode ser crescente, decrescente ou constante.