Proporção: Igualdade entre Razões

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1. O que é Proporção?

Imagine que em uma receita de bolo, para cada 2 xícaras de farinha, usamos 1 xícara de açúcar. Se quisermos fazer um bolo maior, com 6 xícaras de farinha, quantas xícaras de açúcar serão necessárias? A resposta é 3, pois a relação entre farinha e açúcar deve ser a mesma: 2 : 1 = 6 : 3. Essa igualdade entre razões é chamada de proporção.

Definição Matemática Formal

Dados quatro números a, b, c, d, com b ≠ 0 e d ≠ 0, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre a e b é igual à razão entre c e d.

a b = c d \Leftrightarrow a : b = c : d

Termos da proporção:

• a e d são os extremos.
• b e c são os meios.

Exemplo: 2 : 3 = 4 : 6 → 2 e 6 são os extremos, 3 e 4 são os meios.

2. Propriedade Fundamental das Proporções

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. a b = c d \Rightarrow a \times d = b \times c

Exemplo

Verifique se 2 : 3 = 4 : 6 forma uma proporção.

2 \times 6 = 12 3 \times 4 = 12 Como os produtos são iguais, temos uma proporção.

📌 Importante!

Essa propriedade é usada para resolver problemas de regra de três e para verificar se duas razões formam uma proporção.

3. Grandezas Diretamente Proporcionais

📈 Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma, a outra aumenta na mesma proporção (ou diminuindo uma, a outra diminui na mesma proporção).

Exemplo: Quanto mais litros de gasolina, maior o preço a pagar.
10 litros → R$ 50,00
20 litros → R$ 100,00
A razão 1050 = 20100 = 15 (constante).

Razão constante: xy = k (constante)

Exemplo resolvido

Se 5 metros de tecido custam R$ 40,00, quanto custarão 8 metros do mesmo tecido?

Grandezas diretamente proporcionais: mais metros \to mais reais. 540 = 8 x 5 \times x = 40 \times 8 5x = 320 x = 64

Resposta: R$ 64,00.

4. Grandezas Inversamente Proporcionais

📉 Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma, a outra diminui na mesma proporção (e vice-versa).

Exemplo: Quanto mais velocidade, menos tempo para percorrer uma distância.
60 km/h → 2 horas
120 km/h → 1 hora
O produto velocidade × tempo é constante: 60×2 = 120×1 = 120.

Produto constante: x × y = k (constante)

Exemplo resolvido

Um carro a 60 km/h leva 5 horas para fazer uma viagem. Se aumentar a velocidade para 100 km/h, quanto tempo levará?

Grandezas inversamente proporcionais: mais velocidade \to menos tempo. 60 \times 5 = 100 \times x 300 = 100x x = 3

Resposta: 3 horas.

5. Regra de Três Simples

A regra de três simples é um método prático para resolver problemas envolvendo duas grandezas proporcionais.

Passos para resolver

Identificar as grandezas e verificar se são direta ou inversamente proporcionais.
Montar uma tabela com os valores conhecidos e o valor desconhecido (x).
Montar a proporção de acordo com a relação entre as grandezas.
Aplicar a propriedade fundamental e resolver.

Exemplo 1: Diretamente proporcional

Para fazer 12 bolos, são necessários 6 ovos. Quantos ovos serão necessários para fazer 20 bolos?

Bolos Ovos 126 20 x 1220 = 6 x 12x = 20 \times 6 12x = 120 x = 10

Bolos	Ovos
12	6
20	x

Resposta: 10 ovos.

Exemplo 2: Inversamente proporcional

Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Quantas horas levarão 3 torneiras iguais para encher o mesmo tanque?

Torneiras Tempo (h) 16 3 x 13 = x 6 (inversa, invertemos uma razão) 3x = 6 x = 2

Torneiras	Tempo (h)
1	6
3	x

Resposta: 2 horas.

6. Regra de Três Composta

A regra de três composta é usada quando há mais de duas grandezas envolvidas.

Exemplo

5 máquinas, trabalhando 6 horas por dia, produzem 1.000 peças em 4 dias. Quantas peças serão produzidas por 8 máquinas, trabalhando 8 horas por dia, durante 6 dias?

Máquinas h/dia Dias Peças 564 1.000 886 x 58 \times 68 \times 46 = 1.000 x 5 \times 6 \times 4 8 \times 8 \times 6 = 1.000 x 120384 = 1.000 x 120x = 384 \times 1.000 120x = 384.000 x = 3.200

Máquinas	h/dia	Dias	Peças
5	6	4	1.000
8	8	6	x

Resposta: 3.200 peças.

📌 Método prático

Compare cada grandeza com a que contém a incógnita para determinar se é direta ou inversamente proporcional. Depois, multiplique as razões.

7. Divisão Proporcional

A divisão proporcional é usada para dividir um valor em partes diretamente proporcionais a alguns números.

Exemplo 1: Divisão diretamente proporcional

Divida R$ 1.200,00 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Soma das partes: 2 + 3 + 5 = 10 Parte 1: 210 \times 1.200 = 240 Parte 2: 310 \times 1.200 = 360 Parte 3: 510 \times 1.200 = 600

Resposta: R$ 240,00, R$ 360,00 e R$ 600,00.

Exemplo 2: Divisão inversamente proporcional

Divida R$ 600,00 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4.

Inversos: 12, 13, 14 MMC dos denominadores = 12 Multiplicando pelos inversos: 6, 4, 3 Soma: 6 + 4 + 3 = 13 Parte 1: 613 \times 600 = 276,92 (aproximadamente) Parte 2: 413 \times 600 = 184,62 Parte 3: 313 \times 600 = 138,46

8. Questões Resolvidas

Questão 1

Verifique se os números 4, 6, 10 e 15 formam uma proporção, nessa ordem.

Resolução:
Temos a proporção 4 : 6 = 10 : 15
Produto dos meios: 6 × 10 = 60
Produto dos extremos: 4 × 15 = 60
Como os produtos são iguais, forma uma proporção.

✅ Sim, forma uma proporção.

Questão 2

Determine o valor de x na proporção 35 = x20.

Resolução:
3 × 20 = 5 × x
60 = 5x
x = 12

✅ x = 12

Questão 3

Um automóvel consome 8 litros de gasolina para percorrer 100 km. Quantos litros consumirá para percorrer 250 km?

Resolução:
Grandezas diretamente proporcionais: mais km → mais litros.
8100 = x250
8 × 250 = 100 × x
2.000 = 100x
x = 20

✅ 20 litros.

Questão 4

Um ciclista percorre uma distância em 2 horas, com velocidade média de 30 km/h. Se aumentar a velocidade para 40 km/h, quanto tempo levará?

Resolução:
Grandezas inversamente proporcionais: mais velocidade → menos tempo.
30 × 2 = 40 × x
60 = 40x
x = 1,5 h = 1h30min

✅ 1,5 horas (1 hora e 30 minutos).

Questão 5

Divida R$ 900,00 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4.

Resolução:
Soma: 2 + 3 + 4 = 9
Parte 1: 29 × 900 = 200
Parte 2: 39 × 900 = 300
Parte 3: 49 × 900 = 400

✅ R$ 200, R$ 300 e R$ 400.

Questão 6

Se 6 operários constroem um muro em 10 dias, quantos dias levarão 8 operários para construir o mesmo muro?

Resolução:
Grandezas inversamente proporcionais: mais operários → menos dias.
6 × 10 = 8 × x
60 = 8x
x = 7,5 dias

✅ 7,5 dias (7 dias e 12 horas).

Questão 7

Em um mapa, 3 cm representam 12 km na realidade. Quantos quilômetros representam 7 cm nesse mapa?

Resolução:
Grandezas diretamente proporcionais.
312 = 7x
3x = 12 × 7
3x = 84
x = 28 km

✅ 28 km.

Questão 8

Para alimentar 15 vacas durante 20 dias, são necessários 600 kg de ração. Quantos kg serão necessários para alimentar 20 vacas durante 30 dias?

Resolução:

Vacas	Dias	Ração (kg)
15	20	600
20	30	x

1520 × 2030 = 600x
15 × 2020 × 30 = 600x
300600 = 600x
300x = 600 × 600
300x = 360.000
x = 1.200

✅ 1.200 kg.

Questão 9

Divida R$ 1.500,00 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Resolução:
Inversos: 12, 13, 15
MMC dos denominadores = 30
Multiplicando pelos inversos: 15, 10, 6
Soma: 15 + 10 + 6 = 31
Parte 1: 1531 × 1.500 ≈ 725,81
Parte 2: 1031 × 1.500 ≈ 483,87
Parte 3: 631 × 1.500 ≈ 290,32

✅ Aproximadamente R$ 725,81; R$ 483,87; R$ 290,32.

Questão 10

Uma torneira enche um tanque em 4 horas. Outra torneira enche o mesmo tanque em 6 horas. Em quanto tempo as duas torneiras juntas encherão o tanque?

Resolução:
Em 1 hora, a primeira torneira enche 14 do tanque.
Em 1 hora, a segunda torneira enche 16 do tanque.
Juntas, em 1 hora, enchem 14 + 16 = 312 + 212 = 512 do tanque.
Para encher o tanque inteiro: 512 × t = 1 → t = 125 = 2,4 horas = 2h24min

✅ 2,4 horas (2 horas e 24 minutos).

9. Aplicações da Proporção no Dia a Dia

🍳 Receitas

Ajustar quantidades de ingredientes proporcionalmente.

Se uma receita para 4 pessoas usa 2 ovos, para 6 pessoas usa 3 ovos.

📏 Mapas e Escalas

Relacionar distâncias no mapa com distâncias reais.

1 cm no mapa = 5 km na realidade → 3 cm = 15 km.

💰 Finanças

Juros, descontos, divisão de lucros.

Dividir um lucro proporcionalmente ao investimento de cada sócio.

📊 Estatística

Proporções e percentuais.

30100 = 30%

10. Exercícios Guiados

Exercício 1

Calcule o valor de x na proporção x8 = 510.

Ver resolução

10x = 8 \times 5 10x = 40 x = 4

Exercício 2

Um carro percorre 300 km com 25 litros de combustível. Quantos litros serão necessários para percorrer 420 km?

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25300 = x 420 300x = 25 \times 420 300x = 10.500 x = 35 litros

Exercício 3

Uma máquina produz 120 peças em 4 horas. Quantas horas serão necessárias para produzir 300 peças?

Ver resolução

1204 = 300 x 120x = 4 \times 300 120x = 1.200 x = 10 horas

Exercício 4

Um avião voa a 800 km/h e leva 3 horas para fazer uma viagem. Se voasse a 600 km/h, quanto tempo levaria?

Ver resolução

800 \times 3 = 600 \times x 2.400 = 600x x = 4 horas

Exercício 5

Divida 500 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Ver resolução

Soma: 2 + 3 + 5 = 10 Parte 1: 210 \times 500 = 100 Parte 2: 310 \times 500 = 150 Parte 3: 510 \times 500 = 250

Resumo Geral: Proporção

Definição: Proporção é a igualdade entre duas razões: a : b = c : d.
Termos: a e d são extremos; b e c são meios.
Propriedade fundamental: a × d = b × c.
Grandezas diretamente proporcionais: xy = k (constante).
Grandezas inversamente proporcionais: x × y = k (constante).
Regra de três simples: Método para encontrar um valor desconhecido em uma proporção.
Regra de três composta: Envolve mais de duas grandezas.
Divisão proporcional: Dividir um valor em partes proporcionais a números dados.
Divisão inversamente proporcional: Dividir em partes inversamente proporcionais.

Glossário de Termos

Proporção: Igualdade entre duas razões: a/b = c/d.
Razão: Comparação entre dois números por meio de uma divisão.
Extremos: Em uma proporção a : b = c : d, os extremos são a e d.
Meios: Em uma proporção a : b = c : d, os meios são b e c.
Propriedade Fundamental: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Grandezas Diretamente Proporcionais: Grandezas que variam na mesma proporção: quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma razão.
Grandezas Inversamente Proporcionais: Grandezas que variam em proporção inversa: quando uma aumenta, a outra diminui na mesma razão.
Constante de Proporcionalidade: Valor constante que relaciona duas grandezas proporcionais.
Regra de Três Simples: Método para resolver problemas envolvendo duas grandezas proporcionais.
Regra de Três Composta: Método para resolver problemas envolvendo três ou mais grandezas proporcionais.
Divisão Proporcional: Divisão de um valor em partes diretamente proporcionais a números dados.
Divisão Inversamente Proporcional: Divisão de um valor em partes inversamente proporcionais a números dados.
Escala: Razão entre a medida no desenho e a medida real.

Desafio Final: 20 Questões sobre Proporção

1. Qual é o valor de x na proporção 23 = x12?

2 × 12 = 3 × x → 24 = 3x → x = 8.

2. Na proporção 4 : 5 = 12 : x, qual o valor de x?

4x = 5 × 12 → 4x = 60 → x = 15.

3. Verifique se 6 : 9 = 10 : 15 forma uma proporção.

6 × 15 = 90, 9 × 10 = 90 → sim, forma proporção.

4. Um carro percorre 240 km com 20 litros. Quantos km percorrerá com 30 litros?

240/20 = x/30 → 20x = 7200 → x = 360 km.

5. Se 5 operários constroem um muro em 12 dias, quantos dias levarão 8 operários?

5 × 12 = 8 × x → 60 = 8x → x = 7,5 dias.

6. Divida 600 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Soma = 10; 2/10×600=120; 3/10×600=180; 5/10×600=300.

7. Um trem a 60 km/h leva 4 horas para fazer uma viagem. A 80 km/h, quanto tempo levará?

60 × 4 = 80 × x → 240 = 80x → x = 3 horas.

8. Em um mapa, 4 cm representam 20 km. Quantos km representam 7 cm?

4/20 = 7/x → 4x = 140 → x = 35 km.

9. Para fazer 15 bolos, usa-se 6 kg de farinha. Quantos kg para 25 bolos?

15/6 = 25/x → 15x = 150 → x = 10 kg.

10. Determine x: x5 = 1215

15x = 5 × 12 → 15x = 60 → x = 4.

11. Se 8 kg de arroz custam R$ 40,00, quanto custarão 12 kg?

8/40 = 12/x → 8x = 480 → x = 60.

12. Três torneiras enchem um tanque em 4 horas. Quantas torneiras iguais encheriam o mesmo tanque em 2 horas?

3 × 4 = x × 2 → 12 = 2x → x = 6 torneiras.

13. Divida 300 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

Inversos: 1/2 e 1/3 → mmc=6 → 3 e 2; soma=5; 3/5×300=180; 2/5×300=120.

14. Uma fábrica produz 500 peças em 8 horas. Quantas peças produzirá em 12 horas?

500/8 = x/12 → 8x = 6.000 → x = 750.

15. Em uma proporção, os extremos são 4 e 9, e um dos meios é 6. Qual é o outro meio?

4 : 6 = x : 9 → 4 × 9 = 6 × x → 36 = 6x → x = 6.

16. Se 10 máquinas produzem 1.000 peças em 5 dias, quantas máquinas produzirão 2.000 peças em 4 dias?

10 × 5 / 1.000 = x × 4 / 2.000 → 50/1.000 = 4x/2.000 → 50 × 2.000 = 1.000 × 4x → 100.000 = 4.000x → x = 25.

17. Um relógio atrasa 5 minutos a cada 8 horas. Quanto atrasará em 3 dias?

3 dias = 72 horas; 5/8 = x/72 → 8x = 360 → x = 45 minutos.

18. Divida 800 em partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 5.

Soma = 8; 1/8×800=100; 2/8×800=200; 5/8×800=500.

19. Para pintar uma parede de 30 m², são necessários 4 litros de tinta. Quantos litros para pintar 75 m²?

30/4 = 75/x → 30x = 300 → x = 10 litros.

20. Uma roda dá 300 voltas em 5 minutos. Quantas voltas dará em 8 minutos?

300/5 = x/8 → 5x = 2.400 → x = 480 voltas.

1. O que é Proporção?

Definição Matemática Formal

2. Propriedade Fundamental das Proporções

Exemplo

📌 Importante!

3. Grandezas Diretamente Proporcionais

📈 Diretamente Proporcionais

Exemplo resolvido

4. Grandezas Inversamente Proporcionais

📉 Inversamente Proporcionais

Exemplo resolvido

5. Regra de Três Simples

Passos para resolver

Exemplo 1: Diretamente proporcional

Exemplo 2: Inversamente proporcional

6. Regra de Três Composta

Exemplo

📌 Método prático

7. Divisão Proporcional

Exemplo 1: Divisão diretamente proporcional

Exemplo 2: Divisão inversamente proporcional

8. Questões Resolvidas

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Questão 7

Questão 8

Questão 9

Questão 10

9. Aplicações da Proporção no Dia a Dia

🍳 Receitas

📏 Mapas e Escalas

💰 Finanças

📊 Estatística

10. Exercícios Guiados

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Resumo Geral: Proporção

Glossário de Termos

📖 Assuntos Relacionados

Desafio Final: 20 Questões sobre Proporção

1. Qual é o valor de x na proporção 23 = x12?

2. Na proporção 4 : 5 = 12 : x, qual o valor de x?

3. Verifique se 6 : 9 = 10 : 15 forma uma proporção.

4. Um carro percorre 240 km com 20 litros. Quantos km percorrerá com 30 litros?

5. Se 5 operários constroem um muro em 12 dias, quantos dias levarão 8 operários?

6. Divida 600 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

7. Um trem a 60 km/h leva 4 horas para fazer uma viagem. A 80 km/h, quanto tempo levará?

8. Em um mapa, 4 cm representam 20 km. Quantos km representam 7 cm?

9. Para fazer 15 bolos, usa-se 6 kg de farinha. Quantos kg para 25 bolos?

10. Determine x: x5 = 1215

11. Se 8 kg de arroz custam R$ 40,00, quanto custarão 12 kg?

12. Três torneiras enchem um tanque em 4 horas. Quantas torneiras iguais encheriam o mesmo tanque em 2 horas?

13. Divida 300 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

14. Uma fábrica produz 500 peças em 8 horas. Quantas peças produzirá em 12 horas?

15. Em uma proporção, os extremos são 4 e 9, e um dos meios é 6. Qual é o outro meio?

16. Se 10 máquinas produzem 1.000 peças em 5 dias, quantas máquinas produzirão 2.000 peças em 4 dias?

17. Um relógio atrasa 5 minutos a cada 8 horas. Quanto atrasará em 3 dias?

18. Divida 800 em partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 5.

19. Para pintar uma parede de 30 m², são necessários 4 litros de tinta. Quantos litros para pintar 75 m²?

20. Uma roda dá 300 voltas em 5 minutos. Quantas voltas dará em 8 minutos?