Divisibilidade: Critérios e Propriedades

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1. O que é Divisibilidade?

Imagine que você tem 12 balas e quer dividir igualmente entre 3 amigos. Cada um receberá 4 balas e não sobrará nenhuma. Dizemos que 12 é divisível por 3. Agora, se você tentar dividir as mesmas 12 balas entre 5 amigos, não será possível dar a mesma quantidade a todos sem que sobrem balas. Nesse caso, 12 não é divisível por 5.

Definição Matemática Formal

Dados dois números inteiros a e b, com b ≠ 0, dizemos que b divide a (ou a é divisível por b) se existe um número inteiro k tal que:

a = b \times k

Notação:

• b | a significa "b divide a" (a é divisível por b).
• b ∤ a significa "b não divide a".

Exemplo: 3 | 12 porque 12 = 3 × 4
5 ∤ 12 porque não existe inteiro k tal que 12 = 5 × k.

2. Múltiplos e Divisores

Múltiplos

Os múltiplos de um número são o resultado da multiplicação desse número por todos os números inteiros.

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...} M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}

Observação: O zero é múltiplo de todos os números.

Divisores

Os divisores de um número são todos os números inteiros que o dividem exatamente (resto zero).

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D(15) = {1, 3, 5, 15}

Observação: O 1 é divisor de todos os números.

Relação entre múltiplos e divisores

Se a é múltiplo de b, então b é divisor de a. As duas afirmações são equivalentes:

a é múltiplo de b \Leftrightarrow b é divisor de a

Exemplo: 12 é múltiplo de 3 e 3 é divisor de 12.

3. Critérios de Divisibilidade

Os critérios de divisibilidade são regras práticas que permitem verificar se um número é divisível por outro sem precisar fazer a divisão completa.

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando é par.

Ex: 24, 36, 108, 1.234 (todos pares)

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Ex: 123 → 1+2+3=6, 6 é divisível por 3 → 123 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.

Ex: 1.324 → últimos dois: 24, 24 é divisível por 4 → 1.324 é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Ex: 125, 340, 1.005, 2.220

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Ex: 234 (par e 2+3+4=9, divisível por 3) → 234 é divisível por 6.

Divisibilidade por 7

Dobre o último algarismo e subtraia do restante. Repita até obter um número pequeno. Se for múltiplo de 7, o número original é divisível por 7.

Ex: 245 → 24 - (2×5) = 24-10=14, 14 é múltiplo de 7 → 245 é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número divisível por 8.

Ex: 1.216 → últimos três: 216, 216 ÷ 8 = 27 → 1.216 é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9.

Ex: 2.835 → 2+8+3+5=18, 18 é divisível por 9 → 2.835 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em 0.

Ex: 120, 350, 1.000, 2.340

Divisibilidade por 11

A soma dos algarismos de posição ímpar menos a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11 (0, 11, 22...).

Ex: 1.331 → ímpares: 1+3=4, pares: 3+1=4, 4-4=0 → divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.

Ex: 324 (3+2+4=9, divisível por 3; últimos dois 24, divisível por 4) → 324 é divisível por 12.

Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.

Ex: 225 (termina em 5, e 2+2+5=9, divisível por 3) → 225 é divisível por 15.

📌 Dica importante

Para verificar a divisibilidade por números compostos, podemos usar a divisibilidade por seus fatores primos. Ex: para ser divisível por 6, precisa ser por 2 e 3.

4. Números Primos e Compostos

Números Primos

Um número natural é primo quando tem exatamente dois divisores: o 1 e ele mesmo.

Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Observação: O número 1 não é primo (tem apenas um divisor).

Números Compostos

Um número natural é composto quando tem mais de dois divisores.

Exemplos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15...

Todo número composto pode ser escrito como produto de números primos (fatoração).

Número	Divisores	Classificação
1	1	Não é primo nem composto
2	1, 2	Primo
3	1, 3	Primo
4	1, 2, 4	Composto
5	1, 5	Primo
6	1, 2, 3, 6	Composto

5. Decomposição em Fatores Primos (Fatoração)

Todo número composto pode ser escrito como um produto de números primos. Esse processo é chamado de fatoração ou decomposição em fatores primos.

Exemplo: Fatorar 60

60 \div 2 = 30 30 \div 2 = 15 15 \div 3 = 5 5 \div 5 = 1 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2² \times 3 \times 5

Método prático (escada)

60 = 2² × 3 × 5

📌 Para que serve a fatoração?

Calcular MMC e MDC
Simplificar frações
Resolver problemas de divisibilidade
Encontrar raízes quadradas exatas

6. Quantidade de Divisores de um Número

A partir da fatoração em primos, podemos calcular quantos divisores um número possui.

Se N = aᵖ \times bᵟ \times cʳ... (fatores primos), então o número de divisores é: d(N) = (p + 1) \times (q + 1) \times (r + 1) \times ...

Exemplo: Quantos divisores tem 60?

60 = 2² \times 3¹ \times 5¹ d(60) = (2 + 1) \times (1 + 1) \times (1 + 1) = 3 \times 2 \times 2 = 12 divisores

Verificação: D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} → 12 divisores ✓

7. Propriedades da Divisibilidade

Propriedade 1

Se a | b e b | c, então a | c.

Ex: 2 | 4 e 4 | 12, então 2 | 12.

Propriedade 2

Se a | b e a | c, então a | (b + c) e a | (b - c).

Ex: 3 | 6 e 3 | 9, então 3 | 15 e 3 | 3.

Propriedade 3

Se a | b, então a | (b × k) para qualquer inteiro k.

Ex: 4 | 8, então 4 | 8×5 = 40.

Propriedade 4

Se a | b e a | c, então a | (mb + nc) para quaisquer inteiros m, n.

Ex: 2 | 4 e 2 | 6, então 2 | (3×4 + 5×6) = 12 + 30 = 42.

8. Números Primos entre Si

Dois números são primos entre si (ou coprimos) quando o único divisor comum entre eles é 1.

Exemplos

8 e 15 são primos entre si (divisores de 8: 1,2,4,8; divisores de 15: 1,3,5,15; comum: apenas 1). 9 e 16 também são primos entre si. 12 e 18 não são primos entre si (têm divisores comuns: 1,2,3,6).

Importante: Números primos entre si não precisam ser primos individualmente. 8 e 15 são compostos, mas são primos entre si.

9. Aplicações no Dia a Dia

Os conceitos de divisibilidade estão presentes em diversas situações:

🍕 Divisão de alimentos: Verificar se uma quantidade pode ser dividida igualmente entre pessoas.
💰 Troco e parcelas: Saber se um valor pode ser pago em parcelas iguais.
📦 Organização de objetos: Distribuir itens em caixas com a mesma quantidade.
⏰ Horários: Escalas de trabalho, turnos (divisão do tempo).
🧮 Jogos: Formar times com o mesmo número de jogadores.
📊 Estatística: Agrupar dados em classes de mesma amplitude.
🏗️ Construção: Cortar materiais em pedaços de mesmo tamanho.

Resumo Geral: Divisibilidade

Definição: a é divisível por b (b | a) se existe k inteiro tal que a = b × k.
Múltiplos: Resultado da multiplicação por inteiros. O zero é múltiplo de todos.
Divisores: Números que dividem exatamente. O 1 é divisor de todos.
Critérios: Regras para 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15...
Números primos: Apenas dois divisores (1 e ele mesmo). Ex: 2, 3, 5, 7...
Números compostos: Mais de dois divisores. Podem ser fatorados.
Fatoração: Decompor em fatores primos.
Quantidade de divisores: d(N) = (p+1)(q+1)(r+1)... para N = aᵖ × bᵟ × cʳ...
Primos entre si: MDC = 1.
Propriedades: Transitividade, soma, produto, combinação linear.

Glossário de Termos

Divisibilidade: Propriedade de um número ser divisível por outro, resultando em divisão exata.
Múltiplo: Resultado da multiplicação de um número por um inteiro. Ex: 15 é múltiplo de 3.
Divisor: Número que divide exatamente outro. Ex: 5 é divisor de 20.
Número Primo: Número natural maior que 1 que possui apenas dois divisores: 1 e ele mesmo.
Número Composto: Número natural maior que 1 que possui mais de dois divisores.
Fatoração: Processo de decompor um número em fatores primos.
Fator Primo: Número primo que aparece na fatoração de um número composto.
MMC (Mínimo Múltiplo Comum): Menor múltiplo comum entre dois ou mais números.
MDC (Máximo Divisor Comum): Maior divisor comum entre dois ou mais números.
Primos entre Si (Coprimos): Números cujo MDC é 1.
Critério de Divisibilidade: Regra prática para verificar se um número é divisível por outro sem efetuar a divisão.
Resto: Valor que sobra em uma divisão não exata.
Divisão Exata: Divisão onde o resto é zero.
Algarismo: Cada um dos símbolos usados para representar números (0 a 9).

Desafio Final: 20 Questões sobre Divisibilidade

1. 36 é divisível por 4?

36 ÷ 4 = 9, resto 0 → sim, é divisível.

2. 57 é divisível por 3?

5 + 7 = 12, 12 é divisível por 3 → sim, 57 é divisível por 3 (57 ÷ 3 = 19).

3. Qual é o menor múltiplo de 7 maior que 30?

28 é menor que 30. O próximo é 35.

4. Quais são os divisores de 18?

18 ÷ 4 não é exato, então 4 não é divisor. A lista correta é 1, 2, 3, 6, 9, 18.

5. Qual dos números é primo?

21 = 3×7, 25 = 5×5, 23 é primo (divisores: 1 e 23).

6. Qual é o número primo par?

2 é o único número primo par.

7. 1.245 é divisível por 5?

Termina em 5, portanto é divisível por 5.

8. 1.872 é divisível por 9?

1+8+7+2=18, 18 é divisível por 9 → sim.

9. Qual é a decomposição em fatores primos de 36?

36 = 6×6 = (2×3)×(2×3) = 2² × 3².

10. Quantos divisores tem 24?

24 = 2³ × 3¹ → (3+1)×(1+1) = 4×2 = 8 divisores.

11. 2.340 é divisível por 6?

É par (divisível por 2) e 2+3+4+0=9 (divisível por 3) → sim, divisível por 6.

12. 3.416 é divisível por 8?

Últimos três algarismos: 416, 416 ÷ 8 = 52 → sim.

13. Qual dos números é divisível por 11?

121: ímpares: 1+1=2, pares: 2, 2-2=0 → divisível por 11 (121 = 11×11).

14. 17 e 18 são primos entre si?

17 é primo, 18 = 2×3², não têm divisores comuns além de 1 → sim, são primos entre si.

15. Qual é o MDC de 12 e 18?

Divisores de 12: 1,2,3,4,6,12; de 18: 1,2,3,6,9,18; maior comum: 6.

16. Qual é o MMC de 4 e 6?

Múltiplos de 4: 4,8,12,16...; de 6: 6,12,18... → menor comum: 12.

17. 0 é múltiplo de 5?

0 = 5 × 0, portanto sim, 0 é múltiplo de todos os números.

18. Qual é o menor múltiplo comum entre 3 e 7?

3 e 7 são primos, então MMC = 3×7 = 21.

19. 1.344 é divisível por 12?

Divisível por 3? 1+3+4+4=12, sim. Divisível por 4? últimos dois 44, 44÷4=11, sim. Portanto divisível por 12.

20. Qual é o maior divisor de 45 menor que 45?

Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. O maior menor que 45 é 15.