Função Quadrática: A Parábola

Função Quadrática (2º Grau) | IncognitaX.com

1. O que é uma função quadrática?

Imagine que você está jogando uma bola para cima. Ela sobe, atinge um ponto máximo e depois desce. O caminho que a bola faz é uma curva chamada parábola. Essa curva é o gráfico de uma função quadrática (ou função do 2º grau).

Definição: Função Quadrática

Uma função f: ℝ → ℝ chamada de função quadrática (ou função do 2º grau) pode ser escrita na forma:

f(x) = ax² + bx + c

• a, b, c são números reais, com a ≠ 0.
• a define a concavidade da parábola.
• b e c influenciam a posição da parábola.

2. Concavidade da parábola

O sinal do coeficiente a determina se a parábola tem a "boca" para cima ou para baixo.

a > 0

a < 0

🔼 a > 0

• Concavidade para cima (forma de U).
• A função tem um valor mínimo.
• Exemplo: f(x) = x²

🔽 a < 0

• Concavidade para baixo (forma de ∩).
• A função tem um valor máximo.
• Exemplo: f(x) = -x²

3. Raízes (zeros) da função quadrática

As raízes (ou zeros) são os valores de x onde a função corta o eixo x, ou seja, onde f(x) = 0.

Para encontrar as raízes, resolvemos: ax² + bx + c = 0

Usamos a fórmula de Bhaskara:

x = -b \pm \sqrtΔ 2a, onde Δ = b² - 4ac

Discriminante (Δ)	Número de raízes reais	Exemplo
Δ > 0	Duas raízes reais diferentes	x² - 5x + 6 = 0 (raízes 2 e 3)
Δ = 0	Duas raízes reais iguais (raiz dupla)	x² - 6x + 9 = 0 (raiz 3)
Δ < 0	Nenhuma raiz real	x² + 4x + 5 = 0

4. Vértice da parábola

O vértice é o ponto mais importante da parábola: é onde a função atinge seu valor máximo (se a < 0) ou mínimo (se a > 0).

Coordenadas do vértice: xᵥ = -b 2a yᵥ = -Δ 4a

💡 Dica: O vértice também pode ser encontrado pela média das raízes: xᵥ = (x₁ + x₂)/2.

5. Construindo o gráfico

Para desenhar uma parábola, precisamos de algumas informações:

Concavidade (sinal de a).
Raízes (pontos onde corta o eixo x).
Vértice (ponto de máximo ou mínimo).
Ponto onde corta o eixo y (x = 0).

Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3

• a = 1 > 0 \to concavidade para cima • Raízes: x² - 4x + 3 = 0 \to (x-1)(x-3) = 0 \to x = 1 ou x = 3 • Vértice: xᵥ = 4/2 = 2, yᵥ = 2² - 8 + 3 = -1 \to (2, -1) • Ponto onde corta y: f(0) = 3 \to (0, 3)

6. Valor máximo e mínimo

O vértice da parábola nos dá o valor máximo ou mínimo da função.

📈 Valor mínimo

Quando a > 0, o vértice é o ponto mais baixo do gráfico.
O valor mínimo é yᵥ.

📉 Valor máximo

Quando a < 0, o vértice é o ponto mais alto do gráfico.
O valor máximo é yᵥ.

7. Estudo do sinal da função quadrática

Estudar o sinal significa determinar para quais valores de x a função é positiva, negativa ou zero.

Concavidade	Δ > 0	Δ = 0	Δ < 0
a > 0	Negativa entre as raízes, positiva fora	Positiva para x ≠ raiz	Positiva para todo x
a < 0	Positiva entre as raízes, negativa fora	Negativa para x ≠ raiz	Negativa para todo x

8. Relações de Girard (soma e produto)

Para uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c, com raízes x₁ e x₂, temos:

Soma: x₁ + x₂ = -b/a Produto: x₁\cdotx₂ = c/a

💡 Dica: Essas relações são muito úteis para verificar se você acertou as raízes ou para montar a equação quando você já conhece as raízes.

9. Exemplos resolvidos

Exemplo 1: f(x) = 2x² - 8x + 6

• a = 2 > 0 \to concavidade para cima • Δ = (-8)² - 4\cdot2\cdot6 = 64 - 48 = 16 • Raízes: x = (8 \pm 4)/4 \to x₁ = 3, x₂ = 1 • Vértice: xᵥ = 8/4 = 2, yᵥ = 2\cdot4 - 16 + 6 = -2 • Estudo do sinal: positiva para x < 1 ou x > 3, negativa para 1 < x < 3

Exemplo 2: f(x) = -x² + 4x - 3

• a = -1 < 0 \to concavidade para baixo • Δ = 16 - 12 = 4 • Raízes: x = (-4 \pm 2)/(-2) \to x₁ = 1, x₂ = 3 • Vértice: xᵥ = -4/(-2) = 2, yᵥ = -4 + 8 - 3 = 1 • Estudo do sinal: positiva para 1 < x < 3, negativa para x < 1 ou x > 3

Exemplo 3: f(x) = x² - 6x + 9

• a = 1 > 0 • Δ = 36 - 36 = 0 • Raiz dupla: x = 3 • Vértice: (3, 0) • Função sempre positiva, exceto em x = 3 (onde é zero)

10. Questões Resolvidas

Questão 1

Dada a função f(x) = x² - 5x + 6, determine as raízes, o vértice e o estudo do sinal.

Passo a passo:
• a = 1 > 0
• Δ = 25 - 24 = 1
• Raízes: x = (5 ± 1)/2 → x₁ = 3, x₂ = 2
• Vértice: xᵥ = 5/2 = 2,5; yᵥ = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25
• Estudo do sinal: positiva para x < 2 ou x > 3, negativa para 2 < x < 3

✅ Raízes: 2 e 3; Vértice (2,5; -0,25)

Questão 2

Determine o valor máximo ou mínimo da função f(x) = -2x² + 8x - 6.

Passo a passo:
• a = -2 < 0 → valor máximo
• xᵥ = -8/(2·(-2)) = -8/(-4) = 2
• yᵥ = -2·4 + 16 - 6 = -8 + 10 = 2
• Valor máximo = 2

✅ Valor máximo = 2

Questão 3

Encontre as raízes da função f(x) = 3x² - 7x + 2.

Passo a passo:
Δ = 49 - 24 = 25
x = (7 ± 5)/(6) → x₁ = 12/6 = 2, x₂ = 2/6 = 1/3

✅ x₁ = 2, x₂ = 1/3

Questão 4

Qual é a soma e o produto das raízes de f(x) = 2x² - 8x + 6?

Passo a passo:
Soma = -b/a = -(-8)/2 = 8/2 = 4
Produto = c/a = 6/2 = 3

✅ Soma = 4, Produto = 3

Questão 5

Determine a função quadrática cujas raízes são 2 e 5 e que passa pelo ponto (0, 10).

Passo a passo:
Forma fatorada: f(x) = a(x - 2)(x - 5)
f(0) = a(-2)(-5) = 10a = 10 → a = 1
f(x) = (x - 2)(x - 5) = x² - 7x + 10

✅ f(x) = x² - 7x + 10

Questão 6

Para quais valores de x a função f(x) = x² - 4x + 3 é negativa?

Passo a passo:
Raízes: x = 1 e x = 3
a > 0 → negativa entre as raízes
f(x) < 0 para 1 < x < 3

✅ 1 < x < 3

Questão 7

Determine o vértice da função f(x) = x² - 6x + 5.

Passo a passo:
xᵥ = -(-6)/(2·1) = 6/2 = 3
yᵥ = 9 - 18 + 5 = -4
Vértice: (3, -4)

✅ (3, -4)

Questão 8

A função f(x) = -x² + 4x - 3 tem valor máximo ou mínimo?

Passo a passo:
a = -1 < 0 → tem valor máximo

✅ Valor máximo

Questão 9

Determine o ponto onde a função f(x) = 2x² - 8x + 6 corta o eixo y.

Passo a passo:
O ponto onde corta o eixo y tem x = 0
f(0) = 6 → ponto (0, 6)

✅ (0, 6)

Questão 10

Se uma função quadrática tem vértice em (2, -3) e a = 1, qual é a função?

Passo a passo:
Forma do vértice: f(x) = a(x - xᵥ)² + yᵥ
f(x) = 1(x - 2)² - 3 = x² - 4x + 4 - 3 = x² - 4x + 1

✅ f(x) = x² - 4x + 1

11. Aplicações da função quadrática

A função quadrática aparece em muitas situações:

🏀 Física: Movimento uniformemente variado (MUV), lançamento de projéteis, queda livre.
📈 Economia: Receita, lucro máximo, custo mínimo.
📐 Geometria: Cálculo de áreas máximas, problemas de otimização.
🌉 Engenharia: Pontes suspensas (parabólicas), arcos, refletores.
🎯 Esportes: Trajetória de bolas em diversos esportes.

12. Exercícios Guiados

Exercício 1

Determine as raízes de f(x) = x² - 7x + 10.

Ver resolução

Δ = 49 - 40 = 9 x = (7 \pm 3)/2 \to x₁ = 5, x₂ = 2

Exercício 2

Encontre o vértice de f(x) = -2x² + 8x - 5.

Ver resolução

xᵥ = -8/(2\cdot(-2)) = -8/(-4) = 2 yᵥ = -2\cdot4 + 16 - 5 = -8 + 11 = 3 Vértice: (2, 3)

Exercício 3

Determine se f(x) = 3x² - 6x + 3 tem valor máximo ou mínimo e qual é esse valor.

Ver resolução

a = 3 > 0 \to valor mínimo xᵥ = 6/(2\cdot3) = 6/6 = 1 yᵥ = 3 - 6 + 3 = 0 Valor mínimo = 0

Exercício 4

Calcule a soma e o produto das raízes de f(x) = 4x² - 12x + 9.

Ver resolução

Soma = -(-12)/4 = 12/4 = 3 Produto = 9/4 = 2,25

Exercício 5

Para quais valores de x a função f(x) = -x² + 4x - 3 é positiva?

Ver resolução

Raízes: x = 1 e x = 3 a < 0 \to positiva entre as raízes 1 < x < 3

Exercício 6

Encontre a função quadrática que passa por (0, 2), (1, 0) e (2, 0).

Ver resolução

As raízes são 1 e 2 \to f(x) = a(x-1)(x-2) f(0) = a(2) = 2 \to a = 1 f(x) = (x-1)(x-2) = x² - 3x + 2

Resumo Geral: Função Quadrática

Definição: f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0.
Concavidade: a > 0 (para cima), a < 0 (para baixo).
Raízes: Resolver ax² + bx + c = 0 usando Bhaskara.
Δ = b² - 4ac: Δ > 0 (2 raízes), Δ = 0 (1 raiz), Δ < 0 (sem raízes reais).
Vértice: xᵥ = -b/(2a), yᵥ = -Δ/(4a).
Valor máximo/mínimo: yᵥ (máximo se a < 0, mínimo se a > 0).
Relações de Girard: soma = -b/a, produto = c/a.
Gráfico: parábola, que pode ser construída com raízes, vértice e ponto onde corta y.
Estudo do sinal: depende de a e das raízes.

Glossário de Termos

Função Quadrática: Função do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0.
Parábola: Gráfico da função quadrática, com formato de U ou ∩.
Concavidade: Orientação da parábola: para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).
Raízes (Zeros): Valores de x onde a função corta o eixo x (f(x) = 0).
Vértice: Ponto de máximo ou mínimo da parábola.
Discriminante (Δ): Δ = b² - 4ac, indica quantas raízes reais existem.
Valor Máximo: Maior valor que a função assume (quando a < 0).
Valor Mínimo: Menor valor que a função assume (quando a > 0).
Relações de Girard: Relações entre coeficientes e raízes: soma e produto.
Forma Fatorada: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), onde x₁ e x₂ são as raízes.
Forma do Vértice: f(x) = a(x - xᵥ)² + yᵥ.

Desafio Final: 20 Questões sobre Função Quadrática

1. Qual é a forma geral da função quadrática?

Função quadrática: ax² + bx + c, com a ≠ 0.

2. Se a > 0, a concavidade da parábola é:

a > 0 → concavidade para cima (U).

3. Se a < 0, a concavidade da parábola é:

a < 0 → concavidade para baixo (∩).

4. O que significa Δ > 0?

Δ > 0 → duas raízes reais distintas.

5. O que significa Δ = 0?

Δ = 0 → raiz dupla.

6. O que significa Δ < 0?

Δ < 0 → não há raízes reais.

7. Determine as raízes de f(x) = x² - 5x + 6.

Δ = 25 - 24 = 1; x = (5 ± 1)/2 → 2 e 3.

8. Qual é o vértice de f(x) = x² - 4x + 3?

xᵥ = 4/2 = 2; yᵥ = 4 - 8 + 3 = -1.

9. A função f(x) = -2x² + 8x - 6 tem valor máximo ou mínimo?

a = -2 < 0 → valor máximo.

10. Qual é a soma das raízes de f(x) = 3x² - 9x + 6?

Soma = -(-9)/3 = 9/3 = 3.

11. Qual é o produto das raízes de f(x) = 2x² - 8x + 6?

Produto = c/a = 6/2 = 3.

12. Para quais x a função f(x) = x² - 4x + 3 é positiva?

a > 0, raízes 1 e 3 → positiva fora.

13. Determine o valor máximo de f(x) = -x² + 4x + 1.

xᵥ = -4/(-2) = 2; yᵥ = -4 + 8 + 1 = 5.

14. Em que ponto a função f(x) = x² - 5x + 6 corta o eixo y?

f(0) = 6.

15. Se uma função quadrática tem raízes 2 e 4, qual é a soma das raízes?

2 + 4 = 6.

16. O gráfico de uma função quadrática com a > 0 tem ponto de:

a > 0 → concavidade para cima → ponto mínimo.

17. Determine as raízes de f(x) = x² - 6x + 9.

Δ = 36 - 36 = 0 → raiz dupla x = 3.

18. Se a função tem Δ < 0 e a > 0, então:

a > 0 e Δ < 0 → sempre positiva.

19. Qual é a forma fatorada de f(x) = x² - 5x + 6?

Raízes 2 e 3 → (x-2)(x-3).

20. O valor mínimo de f(x) = x² - 4x + 5 é:

xᵥ = 2; yᵥ = 4 - 8 + 5 = 1.