Conceito de Função: A Ideia de Dependência
1. O que é uma Função? (Para quem nunca viu)
Imagine que você vai a uma padaria comprar pães. Cada pão custa R$ 0,50. Se você comprar 1 pão, paga R$ 0,50; se comprar 2 pães, paga R$ 1,00; se comprar 3 pães, paga R$ 1,50. Perceba que o valor a pagar depende da quantidade de pães. Essa relação de dependência é a ideia fundamental de uma função.
2. Exemplos do dia a dia
🛒 Supermercado
Se cada maçã custa R$ 2,00, então:
2 maçãs → R$ 4,00
3 maçãs → R$ 6,00
Função: y = 2x
🚗 Distância percorrida
Se você anda a 60 km/h, a distância percorrida depende do tempo:
2 horas → 120 km
3 horas → 180 km
Função: y = 60x
💰 Salário de vendedor
Salário fixo de R$ 1.000,00 mais R$ 50,00 por venda:
5 vendas → R$ 1.250
10 vendas → R$ 1.500
Função: y = 1000 + 50x
Definição Matemática Formal
Uma função é uma relação que associa cada elemento de um conjunto A (chamado domínio) a um único elemento de um conjunto B (chamado contradomínio).
• A é o domínio (valores que x pode assumir).
• B é o contradomínio (valores que y pode assumir).
• f(x) é a imagem de x (o valor correspondente em B).
3. Representação por Diagrama de Flechas
Uma função pode ser visualizada como flechas que ligam cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio.
- 1
- 2
- 3
- 2
- 4
- 6
- 8
- 10
Função f(x) = 2x com domínio {1, 2, 3}
4. O que NÃO é uma função?
⚠️ Regra de ouro: Em uma função, cada valor de x deve estar ligado a apenas um valor de y.
- 1 → (para 2 e 3)
- 2 →
- 2
- 3
- 4
O x = 1 está ligado a dois valores diferentes. Isso não é função!
5. Domínio, Contradomínio e Imagem
Esses são os três conceitos mais importantes sobre funções. Vamos entendê-los com calma:
📥 Domínio
É o conjunto de todos os valores que podemos colocar na função. São os valores de x.
📤 Contradomínio
É o conjunto de todos os valores que a função poderia produzir.
📸 Imagem
É o conjunto dos valores que a função realmente produz.
6. Como encontrar o domínio de uma função
Existem três situações que podem restringir o domínio de uma função:
| Situação | Restrição | Exemplo |
|---|---|---|
| Denominador | Não pode ser zero | f(x) = 1/x → x ≠ 0 |
| Raiz de índice par | Radicando ≥ 0 | f(x) = √x → x ≥ 0 |
| Logaritmo | Logaritmando > 0 | f(x) = log x → x > 0 |
7. Notação de função
A notação f(x) é lida como "f de x" e representa o valor da função quando o valor de entrada é x.
Exemplos
• g(x) = x² - 5x + 6
• h(t) = 3t - 1
Para calcular f(2), substituímos x por 2:
8. Questões Resolvidas
Questão 1
• f(2) = 3·2 - 5 = 6 - 5 = 1
• f(0) = 3·0 - 5 = 0 - 5 = -5
• f(-1) = 3·(-1) - 5 = -3 - 5 = -8
Questão 2
• Temos uma raiz quadrada (índice par). O que está dentro da raiz deve ser ≥ 0.
• 2x - 6 ≥ 0
• 2x ≥ 6
• x ≥ 3
Questão 3
Sim, é uma função. Cada aluno (elemento do domínio) tem uma única altura (imagem). Um aluno não pode ter duas alturas diferentes.
Questão 4
Não, pois um pai pode ter vários filhos, então um elemento do domínio teria mais de uma imagem. Para ser função, cada elemento do domínio deve ter uma única imagem.
Questão 5
• Substituímos x por 2: f(2) = 2·2² - 3·2 + 1
• Primeiro calculamos a potência: 2² = 4
• Depois as multiplicações: 2·4 = 8 e 3·2 = 6
• Por fim, as operações: 8 - 6 + 1 = 3
Questão 6
• O denominador não pode ser zero.
• x² - 4 = 0 → (x - 2)(x + 2) = 0 → x = 2 ou x = -2
• Portanto, x não pode ser 2 nem -2.
Questão 7
• f(x) = 11 significa 2x + 3 = 11
• Subtraímos 3 dos dois lados: 2x = 8
• Dividimos por 2: x = 4
Questão 8
• f(-3) = (-3)² - 4 = 9 - 4 = 5
Questão 9
• Dentro da raiz quadrada não pode ter número negativo.
• x + 5 ≥ 0
• x ≥ -5
Questão 10
• Para x = 2, o denominador é 2 - 2 = 0
• Divisão por zero não é definida.
• Portanto, a função não está definida para x = 2.
Resumo Geral: Conceito de Função
- Função: relação que associa cada x a um único y.
- Domínio: valores que x pode assumir.
- Contradomínio: valores que y poderia assumir.
- Imagem: valores que y realmente assume.
- Notação: f(x) = expressão.
- Valor numérico: f(a) é obtido substituindo x por a.
- Restrições: denominador ≠ 0, radicando (raiz par) ≥ 0.