Inequações do 2º Grau: Estudando o Sinal da Parábola

Inequações do 2º Grau | IncognitaX.com

1. O que são Inequações do 2º Grau? (Para quem nunca viu)

Você já conhece as equações do 2º grau, como x² - 5x + 6 = 0. Agora, em vez do sinal de igual (=), vamos trabalhar com sinais de desigualdade: >, <, ≥, ≤. Quando fazemos isso, temos uma inequação do 2º grau.

2. Relembrando: A Função do 2º Grau

Antes de resolver inequações, precisamos entender o comportamento da função quadrática f(x) = ax² + bx + c. Seu gráfico é uma parábola.

Concavidade

a > 0: parábola com concavidade para cima (forma de U).
a < 0: parábola com concavidade para baixo (forma de ∩).

a > 0

a < 0

Raízes (zeros)

São os valores onde a parábola cruza o eixo x. Calculamos com Bhaskara: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a).

O discriminante Δ = b² - 4ac nos diz quantas raízes existem:

Δ > 0: duas raízes reais diferentes
Δ = 0: duas raízes reais iguais (raiz dupla)
Δ < 0: nenhuma raiz real

3. Estudo do Sinal da Função Quadrática

O estudo do sinal consiste em determinar para quais valores de x a função é positiva, negativa ou zero.

Passos para o estudo do sinal

Encontrar as raízes da equação ax² + bx + c = 0.
Analisar a concavidade da parábola (sinal de a).
Determinar o sinal em cada intervalo determinado pelas raízes.

Resumo do estudo do sinal

a > 0 (concavidade para cima):
- Para x entre as raízes, f(x) < 0 (negativo).
- Para x fora das raízes, f(x) > 0 (positivo).
a < 0 (concavidade para baixo):
- Para x entre as raízes, f(x) > 0 (positivo).
- Para x fora das raízes, f(x) < 0 (negativo).

Esquema prático:

a > 0

+ → - → +

raiz raiz

a < 0

- → + → -

raiz raiz

4. Como Resolver Inequações do 2º Grau

Vamos aprender o método passo a passo, com exemplos.

Exemplo 1: Inequação com duas raízes (a > 0)

Resolva: x² - 5x + 6 > 0

Passo 1: Encontrar as raízes da equação x² - 5x + 6 = 0 Δ = 25 - 24 = 1 x = (5 \pm 1)/2 \to x₁ = 3, x₂ = 2 Passo 2: Analisar a concavidade: a = 1 > 0 \to concavidade para cima Passo 3: Esboçar o estudo do sinal: Para x < 2: positivo (+) Para 2 < x < 3: negativo (-) Para x > 3: positivo (+) Passo 4: Queremos f(x) > 0 (positivo): x < 2 OU x > 3

Solução: { x \in ℝ | x < 2 ou x > 3 }

Exemplo 2: Inequação com duas raízes (a < 0)

Resolva: -x² + 4x - 3 ≥ 0

Passo 1: Multiplicar por -1 (inverte o sinal da inequação): x² - 4x + 3 \leq 0 Passo 2: Raízes de x² - 4x + 3 = 0 Δ = 16 - 12 = 4 x = (4 \pm 2)/2 \to x₁ = 3, x₂ = 1 Passo 3: a = 1 > 0 (na equação transformada), concavidade para cima Portanto, entre as raízes é negativo, fora é positivo. Passo 4: Queremos \leq 0 (negativo ou zero), então: 1 \leq x \leq 3

Solução: { x \in ℝ | 1 \leq x \leq 3 }

⚠️ CUIDADO: Ao multiplicar uma inequação por -1, o sinal da desigualdade INVERTE!

Exemplo 3: Raiz dupla (Δ = 0)

Resolva: x² - 6x + 9 > 0

Passo 1: Raízes: x² - 6x + 9 = 0 \to (x - 3)² = 0 \to x = 3 (raiz dupla) Passo 2: a = 1 > 0, concavidade para cima Passo 3: Para x \neq 3, a função é positiva (pois toca o eixo x apenas no ponto x=3). Passo 4: Queremos > 0, então x pode ser qualquer valor, exceto 3.

Solução: { x \in ℝ | x \neq 3 }

Exemplo 4: Sem raízes reais (Δ < 0)

Resolva: x² + 2x + 5 > 0

Passo 1: Δ = 4 - 20 = -16 < 0 \to não há raízes reais Passo 2: a = 1 > 0, concavidade para cima. A parábola está sempre acima do eixo x. Passo 3: A função é positiva para todo x real.

Solução: ℝ (todos os números reais)

Exemplo 5: Sem raízes reais, a < 0

Resolva: -x² + 2x - 3 > 0

Passo 1: Δ = 4 - 12 = -8 < 0 \to não há raízes reais Passo 2: a = -1 < 0, concavidade para baixo. A parábola está sempre abaixo do eixo x. Passo 3: A função é negativa para todo x real, nunca positiva.

Solução: \emptyset (conjunto vazio)

5. Tabela Resumo dos Casos

Δ	a > 0	a < 0
Δ > 0	Positivo fora das raízes Negativo entre as raízes	Negativo fora das raízes Positivo entre as raízes
Δ = 0	Positivo para x ≠ raiz Zero em x = raiz	Negativo para x ≠ raiz Zero em x = raiz
Δ < 0	Positivo para todo x	Negativo para todo x

6. Sistemas de Inequações do 2º Grau

Um sistema de inequações é resolvido encontrando a interseção das soluções de cada inequação.

Exemplo

Resolva o sistema:

{ x² - 4x + 3 < 0 { x² - 5x + 6 > 0

1ª inequação: x² - 4x + 3 < 0 Raízes: x = 1 e x = 3, a > 0 \to negativa entre as raízes: 1 < x < 3 2ª inequação: x² - 5x + 6 > 0 Raízes: x = 2 e x = 3, a > 0 \to positiva fora das raízes: x < 2 ou x > 3 Interseção: (1 < x < 3) \cap (x < 2 ou x > 3) = 1 < x < 2

Solução: { x \in ℝ | 1 < x < 2 }

7. Inequações Produto e Quociente

Quando temos produtos ou quocientes de expressões do 2º grau, precisamos estudar o sinal de cada fator separadamente e depois combinar os sinais.

Inequação Produto

Resolva: (x² - 5x + 6)(x² - 4) > 0

Passo 1: Estudar o sinal de cada fator. Fator A: x² - 5x + 6 = 0 \to raízes x = 2 e x = 3, a > 0 • x < 2: positivo • 2 < x < 3: negativo • x > 3: positivo Fator B: x² - 4 = 0 \to raízes x = -2 e x = 2, a > 0 • x < -2: positivo • -2 < x < 2: negativo • x > 2: positivo Passo 2: Quadro de sinais (fazer interseção dos intervalos) Passo 3: O produto é positivo quando os sinais são iguais (ambos + ou ambos -). Solução: x < -2 ou 2 < x < 3 ou x > 3? Na verdade, após análise completa: x < -2 ou 2 < x < 3.

Inequação Quociente

Resolva: x² - 4x² - 5x + 6 ≥ 0

Passo 1: Condição de existência: x² - 5x + 6 \neq 0 \to x \neq 2 e x \neq 3 Passo 2: Estudar o sinal do numerador e denominador. Numerador: x² - 4 = 0 \to x = \pm2, a > 0 Denominador: x² - 5x + 6 = 0 \to x = 2 ou 3, a > 0 Passo 3: Fazer quadro de sinais considerando os intervalos definidos pelos valores -2, 2, 3. Passo 4: O quociente é positivo quando numerador e denominador têm mesmo sinal, zero quando numerador = 0 (x = \pm2, exceto onde denominador é zero). Solução após análise: x \leq -2 ou 2 < x < 3.

💡 Dica: Para inequações produto e quociente, use um quadro de sinais com todos os valores críticos (raízes) organizados em ordem crescente.

8. Questões Resolvidas

Questão 1

Resolva a inequação: x² - 7x + 10 < 0.

Resolução:
Raízes: x² - 7x + 10 = 0 → x = 2 ou x = 5
a = 1 > 0, concavidade para cima
Negativa entre as raízes: 2 < x < 5

✅ 2 < x < 5

Questão 2

Resolva a inequação: -x² + 6x - 8 ≥ 0.

Resolução:
Multiplicar por -1: x² - 6x + 8 ≤ 0
Raízes: x = 2 e x = 4
a > 0 → negativa entre as raízes: 2 ≤ x ≤ 4

✅ 2 ≤ x ≤ 4

Questão 3

Resolva: x² - 4x + 4 > 0.

Resolução:
x² - 4x + 4 = (x - 2)² = 0 → x = 2 (raiz dupla)
a = 1 > 0 → positiva para x ≠ 2

✅ x ≠ 2

Questão 4

Resolva: x² + 2x + 10 < 0.

Resolução:
Δ = 4 - 40 = -36 < 0, a = 1 > 0
Função sempre positiva, nunca negativa.

✅ ∅ (conjunto vazio)

Questão 5

Resolva: -x² + 4x - 5 < 0.

Resolução:
Multiplicar por -1: x² - 4x + 5 > 0
Δ = 16 - 20 = -4 < 0, a = 1 > 0
Função sempre positiva, portanto a inequação original é sempre verdadeira.

✅ ℝ (todos os reais)

Questão 6

Resolva o sistema: { x² - 9 > 0, { x² - 4x + 3 < 0.

Resolução:
1ª: x² - 9 > 0 → x < -3 ou x > 3
2ª: x² - 4x + 3 < 0 → 1 < x < 3
Interseção: (x < -3 ou x > 3) ∩ (1 < x < 3) = ∅

✅ ∅ (conjunto vazio)

Questão 7

Resolva: (x² - 5x + 6)(x - 2) ≥ 0.

Resolução:
Fator x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Então (x - 2)(x - 3)(x - 2) ≥ 0 → (x - 2)²(x - 3) ≥ 0
(x - 2)² é sempre ≥ 0 (zero em x = 2)
Portanto, o sinal depende de (x - 3) ≥ 0 → x ≥ 3
Incluindo x = 2 também (pois o produto é zero).
Solução: x = 2 ou x ≥ 3

✅ x = 2 ou x ≥ 3

Questão 8

Resolva: x² - 1x - 2 ≤ 0.

Resolução:
Numerador: x² - 1 = (x - 1)(x + 1) → raízes x = ±1
Denominador: x - 2 = 0 → x = 2 (não pode ser incluído)
Quadro de sinais:
Intervalos: (-∞, -1), (-1, 1), (1, 2), (2, ∞)
Analisando sinais, a fração é ≤ 0 para x ≤ -1 ou 1 ≤ x < 2.

✅ x ≤ -1 ou 1 ≤ x < 2

Questão 9

Determine m para que a equação x² - 4x + m = 0 tenha duas raízes reais e distintas.

Resolução:
Δ > 0 → 16 - 4m > 0 → 4m < 16 → m < 4

✅ m < 4

Questão 10

Determine k para que a função f(x) = x² - 6x + k seja sempre positiva.

Resolução:
Para ser sempre positiva com a > 0, precisamos Δ < 0
Δ = 36 - 4k < 0 → 4k > 36 → k > 9

✅ k > 9

9. Aplicações das Inequações do 2º Grau

As inequações do 2º grau aparecem em diversas situações:

📈 Economia: Determinar intervalos de produção que dão lucro positivo.
🎯 Física: Analisar condições de lançamento de projéteis (altura máxima, tempo de voo).
📐 Geometria: Problemas de áreas e perímetros com restrições.
🧪 Química: Concentrações de soluções que devem estar dentro de certos limites.
📊 Estatística: Intervalos de confiança e testes de hipóteses.

Exemplo prático

Um foguete é lançado e sua altura (em metros) após t segundos é dada por h(t) = -5t² + 100t. Durante quanto tempo o foguete permanece acima de 300 metros?

h(t) > 300 \to -5t² + 100t > 300 -5t² + 100t - 300 > 0 \to dividir por -5 (inverte sinal): t² - 20t + 60 < 0 Raízes: Δ = 400 - 240 = 160, \sqrt160 = 4\sqrt10 \approx 12,65 t = (20 \pm 12,65)/2 \to t₁ \approx 3,675, t₂ \approx 16,325 Solução: 3,675 < t < 16,325 segundos

10. Exercícios Guiados

Exercício 1

Resolva: x² - 3x + 2 < 0.

Ver resolução

Raízes: x = 1 e x = 2, a > 0 \to 1 < x < 2

Exercício 2

Resolva: -x² + 5x - 6 ≥ 0.

Ver resolução

Multiplicar por -1: x² - 5x + 6 \leq 0 Raízes: x = 2 e x = 3 \to 2 \leq x \leq 3

Exercício 3

Resolva: x² + 4 > 0.

Ver resolução

Δ = 0 - 16 = -16 < 0, a > 0 \to sempre positivo, solução ℝ

Exercício 4

Resolva: x² - 4x + 4 < 0.

Ver resolução

(x - 2)² < 0 \to nunca é negativo (só zero em x=2) \to solução \emptyset

Exercício 5

Resolva o sistema: { x² - 16 > 0, { x² - 5x + 6 < 0.

Ver resolução

1ª: x² > 16 \to x < -4 ou x > 4 2ª: x² - 5x + 6 < 0 \to 2 < x < 3 Interseção: \emptyset

Exercício 6

Determine m para que a função f(x) = x² - 2x + m seja sempre positiva.

Ver resolução

Δ < 0 \to 4 - 4m < 0 \to 4m > 4 \to m > 1

Resumo Geral: Inequações do 2º Grau

Definição: Inequação da forma ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 ou ≤ 0, com a ≠ 0.
Passos para resolver:
1. Encontrar as raízes da equação ax² + bx + c = 0.
2. Analisar a concavidade (sinal de a).
3. Determinar o sinal em cada intervalo.
4. Escrever a solução de acordo com a desigualdade.
Casos especiais:
- Δ > 0: dois intervalos (fora das raízes ou entre elas).
- Δ = 0: toda reta exceto a raiz, ou vazio, dependendo da desigualdade.
- Δ < 0: toda reta ou vazio, dependendo do sinal de a.
Multiplicação por -1: inverte o sinal da desigualdade.
Sistemas: resolver cada inequação e fazer a interseção.
Inequações produto/quociente: usar quadro de sinais com todos os fatores.

Glossário de Termos

Inequação do 2º Grau: Desigualdade que envolve uma expressão do 2º grau (ax² + bx + c).
Parábola: Gráfico da função quadrática, com formato de U ou ∩.
Concavidade: Orientação da parábola: para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).
Raízes (Zeros): Valores de x onde a função se anula (corta o eixo x).
Discriminante (Δ): Δ = b² - 4ac, indica quantas raízes reais existem.
Estudo do Sinal: Análise para determinar onde a função é positiva, negativa ou zero.
Intervalo: Conjunto contínuo de números reais entre dois valores.
Quadro de Sinais: Tabela usada para estudar o sinal de produtos ou quocientes de expressões.
Sistema de Inequações: Conjunto de inequações que devem ser satisfeitas simultaneamente.
Interseção: Valores que pertencem a todos os conjuntos solução de um sistema.
Raiz Dupla: Quando Δ = 0, a parábola tangencia o eixo x em um único ponto.
Conjunto Solução: Conjunto de todos os valores que satisfazem a inequação.

Desafio Final: 20 Questões sobre Inequações do 2º Grau

1. Resolva: x² - 4 > 0

x² - 4 = (x-2)(x+2) > 0 → a>0 → positivo fora das raízes.

2. Resolva: x² - 5x + 6 < 0

Raízes 2 e 3, a>0 → negativa entre as raízes.

3. Resolva: -x² + 4x - 3 ≥ 0

Multiplicar por -1: x² - 4x + 3 ≤ 0 → 1 ≤ x ≤ 3.

4. Resolva: x² + 4x + 4 ≥ 0

(x+2)² ≥ 0 é sempre verdadeiro.

5. Resolva: x² + 2x + 5 < 0

Δ = 4 - 20 = -16 < 0, a>0 → sempre positiva.

6. Resolva: -x² + 2x - 3 > 0

Δ = 4 - 12 = -8 < 0, a<0 → sempre negativa.

7. Resolva: x² - 6x + 9 > 0

(x-3)² > 0 → x ≠ 3.

8. Resolva: x² - 9 ≤ 0

x² ≤ 9 → -3 ≤ x ≤ 3.

9. Resolva: x² - 3x - 4 > 0

Raízes -1 e 4, a>0 → positiva fora.

10. Resolva o sistema: { x² - 4 > 0, { x² - 5x + 6 < 0

1ª: x < -2 ou x > 2; 2ª: 2 < x < 3 → interseção vazia (pois x > 2 e 2 < x < 3 dá x entre 2 e 3, mas a 1ª diz x > 2, então 2 < x < 3 é interseção? Na verdade, x > 2 e x < 3 é 2 < x < 3, e isso está contido em x > 2. Então a interseção é 2 < x < 3? Mas a primeira também exclui -2 a 2. Então 2 < x < 3 satisfaz ambas. A resposta correta é 2 < x < 3.

11. Para que valores de m a função f(x) = x² - 4x + m é sempre positiva?

Δ < 0 → 16 - 4m < 0 → 4m > 16 → m > 4.

12. Resolva: (x - 2)(x² - 5x + 6) ≥ 0

x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3) → (x-2)²(x-3) ≥ 0 → x ≥ 3 ou x = 2.

13. Resolva: x² - 4x - 3 ≤ 0

Numerador: (x-2)(x+2); denominador: x-3; quadro de sinais.

14. Resolva: x² - 5x + 6 > 0 e x² - 4 < 0

1ª: x < 2 ou x > 3; 2ª: -2 < x < 2; interseção: -2 < x < 2.

15. Resolva: x² - 4x + 4 < 0

(x-2)² < 0 nunca acontece.

16. Resolva: x² - 3x + 2 > 0 e x² - 4 > 0

1ª: x < 1 ou x > 2; 2ª: x < -2 ou x > 2; interseção: x < -2 ou x > 2.

17. Resolva: -x² + 6x - 9 ≤ 0

Multiplicar por -1: x² - 6x + 9 ≥ 0 → (x-3)² ≥ 0 sempre verdade.

18. Resolva: x² - 8x + 16 ≥ 0

(x-4)² ≥ 0 sempre verdade.

19. Resolva: x² - 7x + 10 < 0 e x² - 9 > 0

1ª: 2 < x < 5; 2ª: x < -3 ou x > 3; interseção: 3 < x < 5.

20. Determine k para que f(x) = x² - 6x + k seja sempre positiva.

Δ < 0 → 36 - 4k < 0 → 4k > 36 → k > 9.