Inequações Produto e Quociente: Estudando o Sinal de Expressões
1. O que são Inequações Produto e Quociente?
Até agora, estudamos inequações com uma única expressão, como x² - 5x + 6 > 0. Mas o que fazer quando temos produtos ou divisões de expressões? Por exemplo:
2. Relembrando: Regra dos Sinais
Para resolver inequações produto e quociente, precisamos lembrar como os sinais se combinam na multiplicação e na divisão:
Multiplicação
| × | + | - |
|---|---|---|
| + | + | - |
| - | - | + |
Sinais iguais → positivo
Sinais diferentes → negativo
Divisão
| ÷ | + | - |
|---|---|---|
| + | + | - |
| - | - | + |
A regra é a mesma da multiplicação!
💡 Resumo: Na multiplicação e na divisão, o resultado é positivo quando os sinais são iguais, e negativo quando os sinais são diferentes.
3. O Método do Quadro de Sinais
O quadro de sinais (ou tabela de sinais) é uma ferramenta visual que nos ajuda a determinar o sinal de uma expressão composta em diferentes intervalos.
Passos para construir um quadro de sinais
- Encontrar as raízes de cada fator (valores que tornam cada expressão igual a zero).
- Ordenar as raízes em ordem crescente. Elas dividem a reta real em intervalos.
- Estudar o sinal de cada fator em cada intervalo.
- Combinar os sinais de acordo com a operação (produto ou quociente).
- Determinar os intervalos que satisfazem a desigualdade.
⚠️ Para inequações quociente: O denominador não pode ser zero! Os valores que anulam o denominador devem ser excluídos do conjunto solução.
4. Exemplo 1: Inequação Produto Simples
Resolva: (x - 2)(x + 3) > 0
Passo 1: Encontrar as raízes de cada fator:
x - 2 = 0 → x = 2
x + 3 = 0 → x = -3
Passo 2: Ordenar as raízes: -3 e 2.
Intervalos: (-∞, -3), (-3, 2), (2, ∞)
Passo 3: Estudar o sinal de cada fator em cada intervalo.
x - 2 = 0 → x = 2
x + 3 = 0 → x = -3
Passo 2: Ordenar as raízes: -3 e 2.
Intervalos: (-∞, -3), (-3, 2), (2, ∞)
Passo 3: Estudar o sinal de cada fator em cada intervalo.
| (-∞, -3) | (-3, 2) | (2, ∞) | |
|---|---|---|---|
| x - 2 | - | - | + |
| x + 3 | - | + | + |
| Produto | + | - | + |
Passo 4: Queremos produto > 0 (positivo).
Solução: x < -3 OU x > 2
Solução: x < -3 OU x > 2
5. Exemplo 2: Inequação Produto com ≤
Resolva: (x - 1)(x + 2) ≤ 0
Passo 1: Raízes: x = 1 e x = -2
Passo 2: Intervalos: (-∞, -2), (-2, 1), (1, ∞)
Passo 2: Intervalos: (-∞, -2), (-2, 1), (1, ∞)
| (-∞, -2) | (-2, 1) | (1, ∞) | |
|---|---|---|---|
| x - 1 | - | - | + |
| x + 2 | - | + | + |
| Produto | + | - | + |
Passo 4: Queremos produto ≤ 0 (negativo ou zero).
Incluímos as raízes onde o produto é zero: x = -2 e x = 1.
Solução: -2 ≤ x ≤ 1
Incluímos as raízes onde o produto é zero: x = -2 e x = 1.
Solução: -2 ≤ x ≤ 1
6. Exemplo 3: Inequação Produto com Três Fatores
Resolva: (x - 3)(x + 1)(x - 2) < 0
Passo 1: Raízes: x = 3, x = -1, x = 2
Passo 2: Ordenando: -1, 2, 3
Intervalos: (-∞, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, ∞)
Passo 2: Ordenando: -1, 2, 3
Intervalos: (-∞, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, ∞)
| (-∞, -1) | (-1, 2) | (2, 3) | (3, ∞) | |
|---|---|---|---|---|
| x - 3 | - | - | - | + |
| x + 1 | - | + | + | + |
| x - 2 | - | - | + | + |
| Produto | - | + | - | + |
Passo 4: Queremos produto < 0 (negativo).
Solução: x < -1 OU 2 < x < 3
Solução: x < -1 OU 2 < x < 3
7. Exemplo 4: Inequação Quociente Simples
Resolva: x - 2x + 1 > 0
Passo 1: Raízes do numerador: x - 2 = 0 → x = 2
Raízes do denominador: x + 1 = 0 → x = -1 (não pode ser incluído)
Passo 2: Ordenando: -1, 2
Intervalos: (-∞, -1), (-1, 2), (2, ∞)
Raízes do denominador: x + 1 = 0 → x = -1 (não pode ser incluído)
Passo 2: Ordenando: -1, 2
Intervalos: (-∞, -1), (-1, 2), (2, ∞)
| (-∞, -1) | (-1, 2) | (2, ∞) | |
|---|---|---|---|
| Numerador (x-2) | - | - | + |
| Denominador (x+1) | - | + | + |
| Quociente | + | - | + |
Passo 3: Queremos quociente > 0 (positivo).
Solução: x < -1 OU x > 2
Solução: x < -1 OU x > 2
O valor x = -1 está excluído (denominador zero).
8. Exemplo 5: Inequação Quociente com ≤
Resolva: x + 3x - 2 ≤ 0
Passo 1: Numerador: x + 3 = 0 → x = -3
Denominador: x - 2 = 0 → x = 2 (excluído)
Passo 2: Intervalos: (-∞, -3), (-3, 2), (2, ∞)
Denominador: x - 2 = 0 → x = 2 (excluído)
Passo 2: Intervalos: (-∞, -3), (-3, 2), (2, ∞)
| (-∞, -3) | (-3, 2) | (2, ∞) | |
|---|---|---|---|
| Numerador (x+3) | - | + | + |
| Denominador (x-2) | - | - | + |
| Quociente | + | - | + |
Passo 3: Queremos quociente ≤ 0 (negativo ou zero).
Incluímos a raiz do numerador onde o quociente é zero: x = -3.
Solução: -3 ≤ x < 2
Incluímos a raiz do numerador onde o quociente é zero: x = -3.
Solução: -3 ≤ x < 2
O valor x = 2 está excluído (denominador zero).
9. Exemplo 6: Produto com Fatores do 2º Grau
Resolva: (x² - 5x + 6)(x - 2) ≥ 0
Passo 1: Fatorar o 2º grau: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
A inequação fica: (x - 2)(x - 3)(x - 2) ≥ 0 → (x - 2)²(x - 3) ≥ 0
Passo 2: (x - 2)² é sempre ≥ 0 (zero em x = 2).
O sinal do produto depende de (x - 3).
Passo 3: Para (x - 3) ≥ 0 → x ≥ 3
Incluímos x = 2 também (pois o produto é zero).
Solução: x = 2 OU x ≥ 3
A inequação fica: (x - 2)(x - 3)(x - 2) ≥ 0 → (x - 2)²(x - 3) ≥ 0
Passo 2: (x - 2)² é sempre ≥ 0 (zero em x = 2).
O sinal do produto depende de (x - 3).
Passo 3: Para (x - 3) ≥ 0 → x ≥ 3
Incluímos x = 2 também (pois o produto é zero).
Solução: x = 2 OU x ≥ 3
10. Exemplo 7: Quociente com Fatores do 2º Grau
Resolva: x² - 4x² - 5x + 6 < 0
Passo 1: Fatorar numerador e denominador:
Numerador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Denominador: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Passo 2: A inequação fica: (x - 2)(x + 2)(x - 2)(x - 3) < 0
Podemos cancelar (x - 2), mas com cuidado: para x ≠ 2, temos:
x + 2x - 3 < 0
Passo 3: Raízes: numerador: x = -2; denominador: x = 3 (excluído)
Intervalos: (-∞, -2), (-2, 3), (3, ∞)
Numerador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Denominador: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Passo 2: A inequação fica: (x - 2)(x + 2)(x - 2)(x - 3) < 0
Podemos cancelar (x - 2), mas com cuidado: para x ≠ 2, temos:
x + 2x - 3 < 0
Passo 3: Raízes: numerador: x = -2; denominador: x = 3 (excluído)
Intervalos: (-∞, -2), (-2, 3), (3, ∞)
| (-∞, -2) | (-2, 3) | (3, ∞) | |
|---|---|---|---|
| Numerador (x+2) | - | + | + |
| Denominador (x-3) | - | - | + |
| Quociente | + | - | + |
Passo 4: Queremos quociente < 0 (negativo).
Solução: -2 < x < 3, com x ≠ 2 (pois cancelamos).
Portanto: -2 < x < 2 OU 2 < x < 3
Solução: -2 < x < 3, com x ≠ 2 (pois cancelamos).
Portanto: -2 < x < 2 OU 2 < x < 3
11. Exemplo 8: Quociente com Múltiplos Fatores
Resolva: (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 1) ≥ 0
Passo 1: Raízes do numerador: x = 1 e x = -2
Raízes do denominador: x = 3 e x = -1 (excluídos)
Passo 2: Ordenando: -2, -1, 1, 3
Intervalos: (-∞, -2), (-2, -1), (-1, 1), (1, 3), (3, ∞)
Raízes do denominador: x = 3 e x = -1 (excluídos)
Passo 2: Ordenando: -2, -1, 1, 3
Intervalos: (-∞, -2), (-2, -1), (-1, 1), (1, 3), (3, ∞)
| (-∞, -2) | (-2, -1) | (-1, 1) | (1, 3) | (3, ∞) | |
|---|---|---|---|---|---|
| x - 1 | - | - | - | + | + |
| x + 2 | - | + | + | + | + |
| x - 3 | - | - | - | - | + |
| x + 1 | - | - | + | + | + |
| Quociente | + | - | + | - | + |
Passo 3: Queremos quociente ≥ 0.
Incluímos raízes do numerador: x = -2 e x = 1.
Excluímos raízes do denominador: x = -1 e x = 3.
Solução: x ≤ -2 OU -1 < x ≤ 1 OU x > 3
Incluímos raízes do numerador: x = -2 e x = 1.
Excluímos raízes do denominador: x = -1 e x = 3.
Solução: x ≤ -2 OU -1 < x ≤ 1 OU x > 3
12. Questões Resolvidas
Questão 1
Resolva a inequação produto: (x + 4)(x - 2) < 0.
Resolução:
Raízes: x = -4 e x = 2
Quadro de sinais: (-∞, -4): (+), (-4, 2): (-), (2, ∞): (+)
Queremos < 0 → -4 < x < 2
Raízes: x = -4 e x = 2
Quadro de sinais: (-∞, -4): (+), (-4, 2): (-), (2, ∞): (+)
Queremos < 0 → -4 < x < 2
✅ -4 < x < 2
Questão 2
Resolva: (x - 1)(x + 3)(x - 5) ≥ 0.
Resolução:
Raízes: -3, 1, 5
Quadro: (-∞,-3): (-), (-3,1): (+), (1,5): (-), (5,∞): (+)
Queremos ≥ 0 → -3 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 5
Raízes: -3, 1, 5
Quadro: (-∞,-3): (-), (-3,1): (+), (1,5): (-), (5,∞): (+)
Queremos ≥ 0 → -3 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 5
✅ -3 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 5
Questão 3
Resolva: x - 3x + 2 > 0.
Resolução:
Numerador: x = 3; Denominador: x = -2 (excluído)
Quadro: (-∞,-2): (+), (-2,3): (-), (3,∞): (+)
Queremos > 0 → x < -2 ou x > 3
Numerador: x = 3; Denominador: x = -2 (excluído)
Quadro: (-∞,-2): (+), (-2,3): (-), (3,∞): (+)
Queremos > 0 → x < -2 ou x > 3
✅ x < -2 ou x > 3
Questão 4
Resolva: x + 1x - 4 ≤ 0.
Resolução:
Numerador: x = -1; Denominador: x = 4 (excluído)
Quadro: (-∞,-1): (+), (-1,4): (-), (4,∞): (+)
Queremos ≤ 0 → -1 ≤ x < 4
Numerador: x = -1; Denominador: x = 4 (excluído)
Quadro: (-∞,-1): (+), (-1,4): (-), (4,∞): (+)
Queremos ≤ 0 → -1 ≤ x < 4
✅ -1 ≤ x < 4
Questão 5
Resolva: (x² - 9)(x - 1) > 0.
Resolução:
x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
Fatores: (x - 3)(x + 3)(x - 1) > 0
Raízes: -3, 1, 3
Quadro: (-∞,-3): (-), (-3,1): (+), (1,3): (-), (3,∞): (+)
Queremos > 0 → -3 < x < 1 ou x > 3
x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
Fatores: (x - 3)(x + 3)(x - 1) > 0
Raízes: -3, 1, 3
Quadro: (-∞,-3): (-), (-3,1): (+), (1,3): (-), (3,∞): (+)
Queremos > 0 → -3 < x < 1 ou x > 3
✅ -3 < x < 1 ou x > 3
Questão 6
Resolva: x² - 4x - 1 ≤ 0.
Resolução:
Numerador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Fatores: (x - 2)(x + 2)/(x - 1) ≤ 0
Raízes num: -2 e 2; Denominador: x = 1 (excluído)
Ordenando: -2, 1, 2
Quadro: (-∞,-2): (-), (-2,1): (+), (1,2): (-), (2,∞): (+)
Queremos ≤ 0 → x ≤ -2 ou 1 < x ≤ 2
Numerador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Fatores: (x - 2)(x + 2)/(x - 1) ≤ 0
Raízes num: -2 e 2; Denominador: x = 1 (excluído)
Ordenando: -2, 1, 2
Quadro: (-∞,-2): (-), (-2,1): (+), (1,2): (-), (2,∞): (+)
Queremos ≤ 0 → x ≤ -2 ou 1 < x ≤ 2
✅ x ≤ -2 ou 1 < x ≤ 2
Questão 7
Resolva: (x + 2)(x - 3) ≥ 0 e (x - 1)(x + 1) < 0.
Resolução:
1ª: (x+2)(x-3) ≥ 0 → x ≤ -2 ou x ≥ 3
2ª: (x-1)(x+1) < 0 → -1 < x < 1
Interseção: ∅ (conjunto vazio)
1ª: (x+2)(x-3) ≥ 0 → x ≤ -2 ou x ≥ 3
2ª: (x-1)(x+1) < 0 → -1 < x < 1
Interseção: ∅ (conjunto vazio)
✅ ∅
Questão 8
Resolva: x² - x - 6x² - 4 ≥ 0.
Resolução:
Numerador: x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Denominador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
(x - 3)(x + 2)(x - 2)(x + 2) ≥ 0
Cancelando (x+2) para x ≠ -2: x - 3x - 2 ≥ 0
Raízes: numerador: 3; denominador: 2 (excluído)
Quadro: (-∞,2): (+), (2,3): (-), (3,∞): (+)
Queremos ≥ 0 → x < 2 ou x ≥ 3, com x ≠ -2 (do cancelamento)
Mas x = -2 também anula numerador e denominador? Na expressão original, x = -2 dá 0/0 (indeterminado). Devemos verificar se x = -2 é solução? Na verdade, na expressão original, x = -2 anula numerador e denominador, resultando em 0/0, que é uma indeterminação. Portanto, x = -2 não pertence ao domínio. Solução final: x < -2 ou -2 < x < 2 ou x ≥ 3.
Numerador: x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Denominador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
(x - 3)(x + 2)(x - 2)(x + 2) ≥ 0
Cancelando (x+2) para x ≠ -2: x - 3x - 2 ≥ 0
Raízes: numerador: 3; denominador: 2 (excluído)
Quadro: (-∞,2): (+), (2,3): (-), (3,∞): (+)
Queremos ≥ 0 → x < 2 ou x ≥ 3, com x ≠ -2 (do cancelamento)
Mas x = -2 também anula numerador e denominador? Na expressão original, x = -2 dá 0/0 (indeterminado). Devemos verificar se x = -2 é solução? Na verdade, na expressão original, x = -2 anula numerador e denominador, resultando em 0/0, que é uma indeterminação. Portanto, x = -2 não pertence ao domínio. Solução final: x < -2 ou -2 < x < 2 ou x ≥ 3.
✅ x < -2 ou -2 < x < 2 ou x ≥ 3
Questão 9
Resolva: (x - 2)²(x + 1)³ ≤ 0.
Resolução:
(x - 2)² é sempre ≥ 0 (zero em x = 2).
O sinal do produto depende de (x + 1)³, que tem o mesmo sinal de (x + 1).
(x + 1)³ ≤ 0 → x + 1 ≤ 0 → x ≤ -1
Incluindo x = 2 (onde o produto é zero).
Solução: x ≤ -1 ou x = 2
(x - 2)² é sempre ≥ 0 (zero em x = 2).
O sinal do produto depende de (x + 1)³, que tem o mesmo sinal de (x + 1).
(x + 1)³ ≤ 0 → x + 1 ≤ 0 → x ≤ -1
Incluindo x = 2 (onde o produto é zero).
Solução: x ≤ -1 ou x = 2
✅ x ≤ -1 ou x = 2
Questão 10
Resolva o sistema: { (x - 3)(x + 2) > 0, { x - 1x + 1 ≤ 0 }.
Resolução:
1ª: (x-3)(x+2) > 0 → x < -2 ou x > 3
2ª: (x-1)/(x+1) ≤ 0 → -1 < x ≤ 1
Interseção: (x < -2 ou x > 3) ∩ (-1 < x ≤ 1) = ∅
1ª: (x-3)(x+2) > 0 → x < -2 ou x > 3
2ª: (x-1)/(x+1) ≤ 0 → -1 < x ≤ 1
Interseção: (x < -2 ou x > 3) ∩ (-1 < x ≤ 1) = ∅
✅ ∅
13. Aplicações das Inequações Produto e Quociente
Essas inequações aparecem em diversas situações práticas:
- 📈 Economia: Determinar intervalos de produção que dão lucro positivo considerando custos e receitas.
- ⚡ Física: Análise de sinais em fórmulas que envolvem produtos e divisões.
- 📐 Geometria: Problemas de áreas e perímetros com restrições.
- 🔢 Matemática: Estudo do domínio de funções racionais.
- 📊 Estatística: Análise de razões e proporções.
Exemplo prático
O lucro de uma empresa é dado por L(x) = (x - 10)(x - 100), onde x é a quantidade produzida (em milhares). Para quais valores de x o lucro é positivo?
(x - 10)(x - 100) > 0
Raízes: 10 e 100
a > 0 → positivo fora das raízes
Solução: x < 10 ou x > 100
Raízes: 10 e 100
a > 0 → positivo fora das raízes
Solução: x < 10 ou x > 100
Isso significa que o lucro é positivo para produções abaixo de 10.000 unidades ou acima de 100.000 unidades.
14. Exercícios Guiados
Exercício 1
Resolva: (x - 4)(x + 1) > 0.
Ver resolução
Raízes: 4 e -1
Quadro: (-∞,-1): (+), (-1,4): (-), (4,∞): (+)
Solução: x < -1 ou x > 4
Quadro: (-∞,-1): (+), (-1,4): (-), (4,∞): (+)
Solução: x < -1 ou x > 4
Exercício 2
Resolva: (x + 2)(x - 3)(x - 1) ≤ 0.
Ver resolução
Raízes: -2, 1, 3
Quadro: (-∞,-2): (-), (-2,1): (+), (1,3): (-), (3,∞): (+)
Solução: x ≤ -2 ou 1 ≤ x ≤ 3
Quadro: (-∞,-2): (-), (-2,1): (+), (1,3): (-), (3,∞): (+)
Solução: x ≤ -2 ou 1 ≤ x ≤ 3
Exercício 3
Resolva: x + 2x - 3 < 0.
Ver resolução
Numerador: x = -2; Denominador: x = 3 (excluído)
Quadro: (-∞,-2): (+), (-2,3): (-), (3,∞): (+)
Solução: -2 < x < 3
Quadro: (-∞,-2): (+), (-2,3): (-), (3,∞): (+)
Solução: -2 < x < 3
Exercício 4
Resolva: x - 1x + 2 ≥ 0.
Ver resolução
Numerador: x = 1; Denominador: x = -2 (excluído)
Quadro: (-∞,-2): (+), (-2,1): (-), (1,∞): (+)
Solução: x < -2 ou x ≥ 1
Quadro: (-∞,-2): (+), (-2,1): (-), (1,∞): (+)
Solução: x < -2 ou x ≥ 1
Exercício 5
Resolva: (x² - 4)(x - 1) < 0.
Ver resolução
x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Fatores: (x - 2)(x + 2)(x - 1) < 0
Raízes: -2, 1, 2
Quadro: (-∞,-2): (-), (-2,1): (+), (1,2): (-), (2,∞): (+)
Solução: x < -2 ou 1 < x < 2
Fatores: (x - 2)(x + 2)(x - 1) < 0
Raízes: -2, 1, 2
Quadro: (-∞,-2): (-), (-2,1): (+), (1,2): (-), (2,∞): (+)
Solução: x < -2 ou 1 < x < 2
Exercício 6
Resolva: x² - 9x² - 4 ≥ 0.
Ver resolução
Numerador: x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
Denominador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Raízes num: -3, 3; raízes den: -2, 2 (excluídos)
Ordenando: -3, -2, 2, 3
Quadro: (-∞,-3): (+), (-3,-2): (-), (-2,2): (+), (2,3): (-), (3,∞): (+)
Solução: x ≤ -3 ou -2 < x < 2 ou x ≥ 3
Denominador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Raízes num: -3, 3; raízes den: -2, 2 (excluídos)
Ordenando: -3, -2, 2, 3
Quadro: (-∞,-3): (+), (-3,-2): (-), (-2,2): (+), (2,3): (-), (3,∞): (+)
Solução: x ≤ -3 ou -2 < x < 2 ou x ≥ 3
Resumo Geral: Inequações Produto e Quociente
- Definição: Inequações que envolvem produtos ou quocientes de expressões algébricas.
- Regra dos sinais: Na multiplicação e divisão, sinais iguais dão positivo, sinais diferentes dão negativo.
- Método do quadro de sinais:
- Encontrar as raízes de cada fator.
- Ordenar as raízes e dividir a reta em intervalos.
- Estudar o sinal de cada fator em cada intervalo.
- Combinar os sinais para obter o sinal da expressão.
- Selecionar os intervalos que satisfazem a desigualdade.
- Para quocientes: O denominador não pode ser zero! Excluir esses valores.
- Incluir raízes: Quando a desigualdade for ≤ ou ≥, incluir as raízes do numerador (onde a expressão é zero).
- Fatores quadráticos: Fatorar sempre que possível para obter fatores lineares.
- Potências pares: (x - a)² é sempre ≥ 0, nunca muda de sinal.
Glossário de Termos
- Inequação Produto
- Inequação que envolve a multiplicação de duas ou mais expressões algébricas.
- Inequação Quociente
- Inequação que envolve a divisão de duas expressões algébricas (fração).
- Quadro de Sinais
- Tabela usada para organizar o estudo do sinal de uma expressão em diferentes intervalos.
- Raiz (ou Zero) de uma Expressão
- Valor que torna a expressão igual a zero.
- Intervalo
- Conjunto contínuo de números reais entre dois valores.
- Sinal da Expressão
- Indica se a expressão é positiva (+), negativa (-) ou zero para determinado valor de x.
- Denominador
- Parte de baixo de uma fração. Não pode ser zero.
- Condição de Existência
- Valores que a variável pode assumir sem anular denominadores ou causar indeterminações.
- Fatoração
- Processo de escrever uma expressão como produto de fatores mais simples.
- Potência Par
- Expressão como (x - a)², (x - a)⁴, etc., que é sempre não negativa.
- Sistema de Inequações
- Conjunto de inequações que devem ser satisfeitas simultaneamente.
- Interseção
- Valores que pertencem a todos os conjuntos solução de um sistema.
Desafio Final: 20 Questões sobre Inequações Produto e Quociente
1. Resolva: (x - 1)(x + 2) > 0
Raízes -2 e 1, a>0 → positivo fora.
2. Resolva: (x + 3)(x - 2) < 0
Raízes -3 e 2, a>0 → negativo entre elas.
3. Resolva: (x - 4)(x + 1) ≥ 0
Raízes -1 e 4 → positivo fora, inclui raízes.
4. Resolva: (x + 2)(x - 3)(x + 1) < 0
Raízes -2, -1, 3 → negativo nos intervalos com número ímpar de fatores negativos.
5. Resolva: x - 2x + 3 > 0
Numerador: 2; Denominador: -3 (excluído) → positivo nos extremos.
6. Resolva: x + 1x - 4 < 0
Numerador: -1; Denominador: 4 (excluído) → negativo entre eles.
7. Resolva: x - 3x + 2 ≤ 0
Numerador: 3; Denominador: -2 (excluído) → negativo entre, inclui 3.
8. Resolva: (x² - 4)(x - 1) ≥ 0
Fatorando: (x-2)(x+2)(x-1) ≥ 0. Raízes -2,1,2. Quadro dá -2≤x≤1 ou x≥2.
9. Resolva: x² - 9x - 2 > 0
Numerador: (x-3)(x+3); Denominador: 2 (excluído). Quadro: (-∞,-3): (+), (-3,2): (-), (2,3): (-), (3,∞): (+).
10. Resolva: (x - 1)²(x + 2) < 0
(x-1)² é sempre ≥ 0, só influencia o sinal de (x+2) < 0 → x < -2.
11. Resolva: (x - 2)(x + 1)x - 3 ≥ 0
Raízes num: -1,2; den: 3 (excluído). Quadro: (-∞,-1): (+), (-1,2): (-), (2,3): (+), (3,∞): (+).
12. Resolva o sistema: { (x - 2)(x + 1) > 0, { x - 3 < 0 }
1ª: x < -1 ou x > 2; 2ª: x < 3 → interseção: x < -1 ou 2 < x < 3.
13. Resolva: x² - 1x² - 4 ≤ 0
Numerador: (x-1)(x+1); Denominador: (x-2)(x+2); raízes -2,-1,1,2. Quadro dá a solução indicada.
14. Resolva: (x + 2)³(x - 1)⁴ ≤ 0
(x-1)⁴ é sempre ≥ 0, o sinal depende de (x+2)³, que tem mesmo sinal de (x+2). Queremos ≤ 0 → x ≤ -2 (inclui x = -2). x = 1 também dá zero, então inclui x = 1.
15. Resolva: (x - 2)(x + 3)x < 0
Raízes num: -3,2; den: 0 (excluído). Quadro: (-∞,-3): (+), (-3,0): (-), (0,2): (+), (2,∞): (+).
16. Resolva: (x - 1)(x + 2) > 0 e xx - 3 ≤ 0
1ª: x < -2 ou x > 1; 2ª: 0 ≤ x < 3; interseção: 1 < x < 3 (da 1ª x>1 e 2ª 0≤x<3 → 1
17. Resolva: x² - 5x + 6x - 2 ≥ 0
Numerador: (x-2)(x-3); Denominador: (x-2). Cancelando para x≠2: (x-3) ≥ 0 → x ≥ 3. Inclui x=2? Na expressão original, x=2 dá 0/0, então não inclui.
18. Resolva: (x - 1)²(x + 2)³ > 0
(x-1)² é sempre ≥ 0, (x+2)³ > 0 → x > -2, excluindo x=1? Em x=1, o produto é zero, não >0. Portanto x > -2 e x ≠ 1.
19. Resolva: x - 2x + 1 ≥ 0 e x + 3x - 4 < 0
1ª: x < -1 ou x ≥ 2; 2ª: -3 < x < 4; interseção: -3 < x < -1 ou 2 ≤ x < 4.
20. Resolva: (x - 3)(x + 1) ≤ 0 e (x - 2)(x + 4) > 0
1ª: -1 ≤ x ≤ 3; 2ª: x < -4 ou x > 2; interseção: 2 < x ≤ 3.