Inequação: Desigualdades Matemáticas
1. O que é uma Inequação?
Imagine que você quer comprar um presente que custa no mínimo R$ 50,00. Ou então que um carro não pode ultrapassar 80 km/h em uma via. Situações assim envolvem desigualdades, não igualdades exatas. É aí que entram as inequações.
Definição Matemática Formal
Uma inequação é uma sentença matemática que expressa uma desigualdade entre duas expressões algébricas. Ela pode conter os seguintes símbolos:
| Símbolo | Significado | Exemplo | Leitura |
|---|---|---|---|
| > | Maior que | x > 5 | x é maior que 5 |
| < | Menor que | x < 5 | x é menor que 5 |
| ≥ | Maior ou igual a | x ≥ 5 | x é maior ou igual a 5 |
| ≤ | Menor ou igual a | x ≤ 5 | x é menor ou igual a 5 |
| ≠ | Diferente de | x ≠ 5 | x é diferente de 5 |
Diferente das equações, que têm uma solução (ou algumas), as inequações geralmente têm infinitas soluções, representadas por intervalos numéricos.
2. Resolvendo Inequações do 1º Grau
Para resolver inequações, seguimos praticamente os mesmos passos das equações, mas com uma regra muito importante sobre a multiplicação/divisão por números negativos.
⚠️ REGRA DE OURO (NUNCA ESQUEÇA!)
Quando multiplicamos ou dividimos os dois lados de uma inequação por um número NEGATIVO, o sinal da desigualdade INVERTE!
Exemplo: -2x < 6 → dividindo por -2: x > -3 (o sinal < virou >).
Exemplo 1: Inequação simples (sem multiplicação por negativo)
Resolva: 2x + 3 > 7
2x > 7 - 3
2x > 4
x > 4 2
x > 2
Solução: { x ∈ ℝ | x > 2 } (todos os números maiores que 2)
Na reta: ○---------2-----------------→ (bolinha aberta no 2, pois não inclui o 2)
Exemplo 2: Com multiplicação por negativo (CUIDADO!)
Resolva: -3x + 4 ≤ 10
-3x ≤ 10 - 4
-3x ≤ 6
x ≥ 6 -3
x ≥ -2
(Dividimos por -3, então o sinal ≤ virou ≥)
Solução: { x ∈ ℝ | x ≥ -2 } (todos os números maiores ou iguais a -2)
Na reta: ←---------●-2----------------- (bolinha fechada no -2, pois inclui o -2)
Exemplo 3: Inequação com parênteses
Resolva: 2(x - 3) < 4
2x - 6 < 4
2x < 4 + 6
2x < 10
x < 10 2
x < 5
Solução: { x ∈ ℝ | x < 5 }
3. Representação na Reta Numérica
As soluções das inequações são melhor visualizadas na reta numérica. Existem duas situações:
Bolinha Aberta (○)
Usada para os sinais > e < (estritamente maior/menor). O número não faz parte da solução.
Exemplo: x > 3
Bolinha Fechada (●)
Usada para os sinais ≥ e ≤ (maior ou igual/menor ou igual). O número faz parte da solução.
Exemplo: x ≥ 3
Exemplos de representação:
| Inequação | Representação | Intervalo |
|---|---|---|
| x > 2 | ○---------2-----------------→ | (2, +∞) |
| x ≥ 2 | ●---------2-----------------→ | [2, +∞) |
| x < 2 | ←---------2-----------------○ | (-∞, 2) |
| x ≤ 2 | ←---------2-----------------● | (-∞, 2] |
| 1 < x ≤ 4 | ○---1---------4---● | (1, 4] |
4. Sistema de Inequações
Às vezes, temos mais de uma condição ao mesmo tempo. Por exemplo: "x é maior que 2 e menor que 5". Isso é um sistema de inequações.
Exemplo: Resolva o sistema
{ x + 3 > 5
{ 2x - 1 ≤ 9
2ª inequação: 2x - 1 ≤ 9 → 2x ≤ 10 → x ≤ 5
Solução: x > 2 E x ≤ 5 → 2 < x ≤ 5
Na reta: ○---------2-----------------5---------●
Intervalo: (2, 5]
A solução de um sistema é a interseção das soluções de cada inequação (o que vale para todas ao mesmo tempo).
5. Inequação-Produto e Inequação-Quociente
Quando temos produtos ou divisões de expressões, precisamos estudar o sinal de cada parte.
Inequação-Produto: (x - 2)(x + 3) > 0
Para que um produto seja positivo, os dois fatores devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
Resolva: (x - 2)(x + 3) > 0
Passo 2: Estudar o sinal em cada intervalo:
• Para x < -3: (x - 2) é negativo, (x + 3) é negativo → produto positivo (+)
• Para -3 < x < 2: (x - 2) é negativo, (x + 3) é positivo → produto negativo (-)
• Para x > 2: (x - 2) é positivo, (x + 3) é positivo → produto positivo (+)
Passo 3: Queremos > 0 (positivo), então:
x < -3 OU x > 2
Solução: { x ∈ ℝ | x < -3 ou x > 2 }
Inequação-Quociente: x - 1 x + 2 ≤ 0
Para quocientes, além do estudo de sinal, o denominador nunca pode ser zero!
Resolva: x - 1 x + 2 ≤ 0
Passo 2: Encontrar raízes do numerador: x - 1 = 0 → x = 1
Passo 3: Estudar o sinal em cada intervalo:
• Para x < -2: (x - 1) negativo, (x + 2) negativo → quociente positivo (+)
• Para -2 < x < 1: (x - 1) negativo, (x + 2) positivo → quociente negativo (-)
• Para x > 1: (x - 1) positivo, (x + 2) positivo → quociente positivo (+)
Passo 4: Queremos ≤ 0 (negativo ou zero). Zero acontece quando numerador = 0 (x = 1).
Então: -2 < x ≤ 1 (x ≠ -2)
Solução: { x ∈ ℝ | -2 < x ≤ 1 }
Na reta: ○---------(-2)-----------------1---------● (bolinha aberta no -2, fechada no 1)
💡 Dica para estudo de sinal
Faça uma reta com as raízes em ordem crescente e teste um número de cada intervalo. Depois, marque + ou - em cada região.
6. Inequações do 2º Grau
Para inequações com x², usamos o estudo do sinal da função quadrática, baseado na parábola.
Resolva: x² - 5x + 6 > 0
Δ = 25 - 24 = 1
x = 5 ± 1 2 → x₁ = 3, x₂ = 2
Passo 2: Como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade para cima.
• Para x < 2: positivo (+)
• Para 2 < x < 3: negativo (-)
• Para x > 3: positivo (+)
Passo 3: Queremos > 0 (positivo), então:
x < 2 OU x > 3
Solução: { x ∈ ℝ | x < 2 ou x > 3 }
Resolva: -x² + 4x - 3 ≥ 0
x² - 4x + 3 ≤ 0
Passo 2: Raízes de x² - 4x + 3 = 0
Δ = 16 - 12 = 4
x = 4 ± 2 2 → x₁ = 3, x₂ = 1
Passo 3: a = 1 > 0, concavidade para cima.
• Para x < 1: positivo
• Para 1 < x < 3: negativo
• Para x > 3: positivo
Passo 4: Queremos ≤ 0 (negativo ou zero), então:
1 ≤ x ≤ 3
Solução: { x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 3 }
7. Aplicações no Dia a Dia
As inequações aparecem em situações muito práticas:
- 💰 Orçamento: "Não posso gastar mais de R$ 200,00" → x ≤ 200.
- 🚗 Velocidade: "O carro deve estar a pelo menos 60 km/h na rodovia" → v ≥ 60.
- 📏 Altura mínima: "Para entrar no brinquedo, é preciso ter mais de 1,20m" → h > 1,20.
- 🎓 Notas escolares: "Para passar, a média precisa ser maior ou igual a 7" → m ≥ 7.
- 🏢 Idade para votar: "Podem votar pessoas com 16 anos ou mais" → i ≥ 16.
- 📦 Capacidade: "O elevador suporta no máximo 300 kg" → peso ≤ 300.
Resumo Geral: Inequação
- Inequação: Sentença com desigualdade (>, <, ≥, ≤, ≠).
- Regra fundamental: Ao multiplicar/dividir por número negativo, inverte o sinal da desigualdade.
- Conjunto solução: Geralmente infinitos valores, representados por intervalos.
- Reta numérica: Bolinha aberta (○) para > e <; bolinha fechada (●) para ≥ e ≤.
- Sistemas: A solução é a interseção das soluções de cada inequação.
- Inequação-produto/quociente: Estudar o sinal de cada fator e combinar.
- Inequação do 2º grau: Usar o estudo do sinal da parábola (concavidade e raízes).
Glossário de Termos
- Inequação
- Sentença matemática que utiliza símbolos de desigualdade (>, <, ≥, ≤, ≠).
- Desigualdade
- Relação entre dois valores que não são iguais.
- Conjunto solução
- Conjunto de todos os valores que satisfazem a inequação.
- Intervalo
- Forma de representar um conjunto contínuo de números reais. Ex: (a, b), [a, b], (-∞, a].
- Interseção
- Em sistemas de inequações, os valores que satisfazem todas as condições ao mesmo tempo.
- Estudo de sinal
- Técnica para determinar onde uma expressão é positiva, negativa ou zero.
- Inequação-produto
- Inequação que envolve o produto de duas ou mais expressões.
- Inequação-quociente
- Inequação que envolve uma fração com variáveis no denominador (com condição de existência).
- Concavidade
- Na função quadrática, indica se a parábola tem boca para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).
- Regra de inversão
- Quando multiplicamos ou dividimos uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte.